高速列车因其高效、舒适、安全等特点已经成为最受欢迎的公共交通工具之一[1]。列车速度跟踪控制系统是列车自动驾驶(automatic train operation, ATO)的重要组成部分，列车ATO系统通过精确跟踪先验知识生成的理想目标速度-距离曲线来控制列车的运行，列车运行过程中内部参数的不确定性和运行线路上的未知扰动，导致实际运行速度和理想运行速度存在较大的误差，并影响列车的运行速度和安全，所以设计鲁棒性强和速度控制精度高的列车自动驾驶系统具有重要意义。针对高速列车的自动驾驶的速度控制问题，国内外学者开展了大量的研究工作，取得了较多的研究成果，得到了较多适用于高速列车速度控制的模型与控制方法。王玺等[2]以多质点建模为基础设计了基于BFGS方法的高速列车速度预测控制算法，实现了列车速度的精确控制；侯涛等[3]为解决单质点模型因未考虑车长和车厢间影响力，导致列车经过特殊路段时会发生速度跳变，造成速度控制误差变大问题，设计了基于多质点建模的模糊预测控制的列车自动驾驶速度控制系统；LIU等[4]设计自适应线性自抗扰的控制方法，解决了列车精确停车的问题；CAO等[5]提出了一种能够保证列车精确跟踪的模型预测控制方法；王盼盼等[6]对自抗扰控制器进行改进，解决了磁浮列车速度跟踪控制的大迟滞问题；LIU等[7]对于高速列车速度控制系统的速度未知问题，设计了鲁棒速度预测控制方法，但无法对列车运行速度曲线实现较为精确的跟踪控制。上述列车速度控制方法主要研究列车参数不确定，提升控制系统精度等问题，但高速列车在实际运行过程中易受到内外部不确定扰动，这些干扰会严重影响列车控制系统的控制精度和系统运行的稳定性。李中奇等[8]设计了基于扩张状态观测器的超扭曲终端滑模控制方法，减小了外界不确定干扰对列车运行的影响，实现对系统的平滑控制；何之煜等[9]通过设计模糊切换项来补偿列车运行时的未知干扰；LIU等[10]结合扰动观测器和终端滑模控制，提高了控制系统的鲁棒性；许鹏等[11]为解决四足机器人控制中易受不确定干扰的问题，引入了扩张状态观测器；CHEN等[12]设计了积分线性扩张状态观测器增强了四旋翼系统的抗干扰能力。因此，在列车速度控制系统中引入扩张状态观测器可以使系统不完全依赖准确的模型设计控制器，其通过对干扰观测和补偿，消除外界干扰对系统稳定性的影响，提高列车速度控制系统的抗干扰能力和控制精度。目前，滑模控制(sliding mode control, SMC)因有较好的鲁棒性和稳定性而被应用于非线性不确定性系统，但存在的抖振问题限制了其广泛应用。SHI等[13]设计了一种非奇异终端滑模控制器，保证了气-水-煤混合气举升过程中流量与阀门压差的稳定；ZHOU等[14]在研究光电追踪系统时，设计了具有开关趋近律的分数阶滑模控制系统，有效地消除了系统的抖振；曹帅等[15]为解决列车在低黏着性轨面的牵引力不足的问题，设计了基于扰动补偿的自适应滑模黏着控制算法，该算法能够精确地寻找和追踪最优的黏着工作点；许德智等[16]设计了一种基于超扭曲滑模控制的直线电机反推控制策略，提高了永磁直线同步电机控制系统的快速性和鲁棒性。本文选择的非奇异终端滑模控制(nonsingular terminal sliding mode control, NTSMC)可以有效地解决滑模控制的抖振问题和存在的奇异点问题。但NTSMC虽然有较好的鲁棒性但存在着瞬态性能不明确的问题，因此，本文采用预设性能控制(preset performance control, PPC)系统的瞬态性能和稳态性能控制在预先设定好的范围内。马浩翔等[17]针对无人直升机姿态控制问题，提出了一种具有输入输出约束的预设性能安全跟踪控制方法；VO等[18]针对不确定的磁悬浮系统提出了一种终端滑模控制和预设性能控制结合的一种控制方法；李先艳等[19]设计了基于滑模控制的预设性能控制的协调控制器，改善了自动驾驶车辆系统在执行轨迹跟踪任务时的瞬态性能和稳态性能。为提高列车的速度控制精度，降低外界不确定干扰对列车运行过程的影响，本文利用扩张状态观测器(extended state observer, ESO)对系统未知干扰进行估计与补偿，结合预设性能非奇异终端滑模控制(preset performance nonsingular terminal sliding mode control, PPNTSMC)，设计基于ESO-预设性能非奇异终端滑模控制(ESO-PPNTSMC)方法。PPNTSMC的核心思想是将列车速度控制系统误差预先设定在一定范围内，从而提高系统的瞬态性能和稳态性能，解决了滑模控制存在奇异点的问题，显著地提高了列车速度控制系统的鲁棒性和精度。通过Lyapunov稳定性理论证明了控制系统的稳定性，通过仿真对比实验验证了本文所提方法的有效性。
1 系统建模与理论基础
1.1 高速列车动力学模型的建立
本文主要研究高速列车自动驾驶的速度控制问题，建立高速列车动力学模型是研究的基础，在建模过程中，将整列列车看作一个质点，对列车受到的制动力/牵引力和阻力进行分析，不考虑列车各个车厢之间的耦合力。列车运行过程中的受力分析如图1所示，可以得到列车的单质点模型如式(1)所示。
图1中，Fa为列车运行过程中受到的牵引力；Fb为列车运行过程中受到的制动力；Fd为列车运行过程中受到的阻力；FN为列车受到的支撑力；Mg为列车受到的重力。
式中：x为列车运行位移；v为列车运行速度；M为列车质量；F为列车牵引力/制动力，由Fa和Fb构成；F0为基本阻力；Fc为附加阻力；D为列车受到的总干扰。为了下文设计控制系统方便，将式(1)写成非线性系统如式(2)所示。
式中：x1=x；x2=v；f=F/M；fd=Fd/M；f0=F0/M；fb=Fb/M；d=D/M；y为系统的输出。
定义列车控制系统的输出位移为xr，系统精确跟踪到的目标位移为xq，定义位移误差如式(3)所示。
速度误差如式(4)所示。
对上式进行求导可以得到式(5)。
式中：u为系统输出的控制量。
1.2 预设性能控制理论
预设性能控制通过设计性能指标函数，对系统误差进行转换，使系统误差收敛在预先设定的范围内，确保误差的瞬态性能和稳态性能符合预设条件。
定义1[20]：预设性能函数ρ(t)在R+上满足以下2个条件。
1) ρ(t)在R+内单调递减且恒为正；
2) 
预设性能函数形式如式(6)所示：
式中：ρ0、ρ∞、β均为预先设定的正数。
构造的预设性能约束如式(7)所示：
式中：t≥0；0≤β≤1。由式(6)和式(7)可知，βρ0限制跟踪误差的最大值，βρ∞限制了稳态误差的范围，参数β约束误差的收敛速度，因此可以通过调整ρ0、ρ∞和β的值来控制瞬态误差和稳态误差的值。
为统一控制目标，对误差进行转换，将原有的有约束的误差转换为无约束的误差[21]。因此，定义误差e(t)如式(8)所示：
对式(8)处理可以得到误差转化过渡函数S(λ)如式(9)所示：
式中：λ为转换误差，S(λ)满足光滑，严格单调递增且可逆的条件。S(λ)的反函数λ如式(10)所示：
逆变换中定义α=e(t)/ρ(t)作为误差转换的表达式。当
其中，
其中，
1.3 重要引理
为下文设计控制器方便，本文所用的引理如下。
引理1[22]：V(x)为Lyapunov函数，且V0为初始值，假设以下条件成立，
其收敛到0的时间为
式中：a、b、μ为正系数；0<μ<1。
2 高速列车预设性能非奇异终端滑模速度控制系统的设计
2.1 扩张状态观测器(ESO)的设计及稳定性证明
列车运行过程中受到的干扰，会影响列车阻力模型和牵引/制动的模型，进而影响列车速度控制的精度。本文建立列车动力学模型，定义干扰为D，通过ESO对列车受到的干扰进行估计和补偿，降低干扰对列车运行过程的影响，式(2)可以改写为式(15)：
式中：
令
式中：χ为线性扩张状态观测器的增益参数，且χ>0；τ1、τ2、τ3为扩张状态观测器的常值参数；
定义
则观测误差方程如式(18)所示：
式中：φ为常数，表示运动的点趋向滑模面的速率。同理可得到：
综上所述，观测误差方程为
下面对扩张观测器的收敛性进行证明。矩阵G的特征方程如式(21)所示：
式中：ζ为特征方程的根，且需选择合适的特征方程系数使G满足Hurwitze判据。设对任意的正定对称矩阵R，都存在正定矩阵P满足：
设扩张状态观测器的Lyapunov函数为
对其求导，可得：
由Lyapunov的稳定条件可以得到观测器的稳定条件为
即
2.2 高速列车预设性能非奇异终端滑模速度控制系统的设计
目前，高速列车速度控制领域内多数研究仅关注速度控制系统的稳态跟踪性能，存在瞬态性能不明确问题。本文提出基于预设性能非奇异终端滑模控制的速度控制方法，该方法设计预设性能函数控制跟踪误差在预先设定好的范围内，因滑模控制可能不会在有限时间内达到平衡点且存在奇异点问题[23]，因此本文采用非奇异终端滑模控制的方案，非奇异终端滑模控制虽然解决了奇异点问题，但未提高系统的瞬态性能，因此将2种控制方法结合既可以提高系统的瞬态性能也可以解决滑模控制的不足。
选择非奇异终端滑模面为
式中：k1>0；0<r<2，且
对式(26)求导得：
选择快速终端滑模趋近律作为趋近律：
式中：k2>0；k3>0；α为待调节的控制器参数。
式中：
2.3 控制系统稳定性分析
式中：ε为估计误差，
针对上述列车控制系统进行稳定性分析，可以构造Lyapunov函数为
将式(32)可以写为以下2个式子：
将式(33)进一步写为
式中：
同理分析式(34)，系统将会在有限时间内收敛于以下区域：
综上所述，系统将会在有限时间内收敛到以下区域：
当
当
由式(40)与式(41)可得，当
将滑模面式(26)可以写为：
由式(42)可得，当
可以得到：
综上所述，当估计误差有界时，系统转换误差也是有界的，且满足预设性能控制误差的要求，因此所设计的列车速度控制系统是稳定的。
3 仿真验证
3.1 预设性能函数的验证
本文使用性能约束函数将列车控制系统的误差约束在一定范围内，期望的性能约束过程如图3所示，且当文中β=1时，因此当e(0)>0和e(0)<0的误差进行转换时误差转换的过渡函数为同一函数且过渡的函数S(λ)如图4所示。
3.2 ESO性能验证
为验证ESO对于外界不确定干扰观测的有效性和快速性，用干扰信号(f1=0.5sin(1.5t))和干扰信号2(f2=0.5sin(πt)+1.3cos(0.7t+0.5))2种不同的干扰信号模拟列车实际运行过程中可能存在的干扰，并且设计了一种非线性干扰观测器和ESO进行对比。干扰信号1的观测结果如图5所示，其中图5(a)为2种观测器对干扰信号1的观测，图5(b)为2种观测器对干扰信号1的观测误差。干扰信号2的观测结果如图6所示，其中图6(a)为2种观测器对干扰信号2的观测，图6(b)为2种观测器对干扰信号2的观测误差。
仿真结果表明，由图5(a)和图6(a)的整体图和局部放大图可知，在加入干扰信号1和干扰信号2后ESO的观测效果要优于非线性干扰观测器的估计效果，即ESO观测滞后较小而非线性状态观测器滞后较大且在峰值处的观测严重不足。由图5(b)和图6(b)观测误差也可以得到ESO的观测误差要整体小于非线性干扰观测器的观测误差，且经过计算可以得到，当加入干扰信号1时，ESO的绝对平均误差为|eESO1|=0.043，非线性状态观测器的平均误差为|ew1|=0.437，ESO较非线性状态观测器的估计精度提高了约10倍，当加入干扰信号2时，ESO的绝对平均误差为|eESO2|=0.042 4，非线性状态观测器的平均误差为|ew2|=0.477，ESO较非线性状态观测器的估计精度提高了约11倍。在加入不同的干扰信号，ESO较非线性干扰观测器能够迅速做出反应，精确估计了不同的干扰信号，即ESO在不同随机信号下均可以在短时间内收敛，实现对未知干扰的快速估计。
3.3 控制系统仿真验证
为验证提出方案的可行性及有效性，本文选取车型：CRH3型高速列车，选取仿真路线：郑西高铁中的西安北站—渭南北站段(950.620～1 010.970 km)的实际线路数据进行仿真验证。本文方案参数设置：M=536 t，τ1=6，τ2=11，τ3=6，k1=1.6，r=1.1，α=0.6，k2=2 100，k3=1 700，β=1，ρ0=1，ρ∞=0.12。
3.3.1 验证算法有效性实验
为验证ESO-PPNTSMC的有效性，实验中选择跟踪期望信号为fd=5sin(0.1t)+3cos(0.5t)，参数选择与上述一致，得到的仿真结果如图7所示。由图7(a)的整体跟踪图和局部放大图可以得到，ESO-PPNTSMC的跟踪效果要优于ADRC和NTSMC的控制效果，由图7(b)可得3种控制方法在控制初期，误差都有波动，ESO-PPNTSMC在13 s左右误差波动变小趋于稳定，ADRC在30 s左右误差开始趋于稳定，NTSMC在26 s左右误差开始趋于稳定。因此，ESO-PPNTSMC较其他2种方法可以改善系统的瞬态性能。当误差趋于在一定范围后，ESO-PPNTSMC较其他2种方案的误差波动较小。因此，本方案也改善了系统的稳态性能。
3.3.2 未加扰动的仿真实验
将本文中提出的ESO-PPNTSMC与自抗扰控制(Active Disturbance Rejection Control,ADRC)和NTSMC的速度控制方案进行对比。列车位移和速度跟踪及其误差如图8所示，其中图8(a)为3种控制方法的位移跟踪效果。由局部放大图可知，ESO-PPNTSMC对位移曲线的跟踪效果要优于ADRC和NTSMC的跟踪效果。在图8(b)3种控制方法的位移跟踪误差对比中可得ESO-PPNTSMC的位移跟踪误差要小于ADRC和NTSMC的跟踪误差，经计算，ESO-PPNTSMC的位移平均跟踪误差为0.11 m，ADRC的位移平均跟踪误差为0.270 m，NTSMC的位移平均跟踪误差为0.261 m，由此可得，在位移曲线跟踪过程中，文中提出方案的跟踪效果要优于ADRC和NTSMC的跟踪效果。图8(c)为速度曲线的跟踪，由局部放大图可知，ESO-PPNTSMC的跟踪效果要优于ADRC和NTSMC的跟踪效果，在图8(d)的3种控制方法的速度跟踪误差对比而言，ESO-PPNTSMC的跟踪误差要小于ADRC和NTSMC的跟踪误差，且经过计算可以得到ESO-PPNTSMC、ADRC和NTSMC的速度跟踪误差分别为0.283，0.471和0.514 km/h。综上，本文所设计的高速列车速度控制方案相较于其他2个方案而言控制误差更小，控制效果更优。
3.3.3 加入干扰的仿真实验
为进一步验证ESO-PPNTSMC的有效性和可靠性，在保持控制参数不变的情况下，加入白噪声干扰，可以得到位移跟踪和速度跟踪及其误差如图9所示。其中图9(a)为3种控制方法的位移跟踪对比图，由放大图可以得到ESO-PPNTSMC的跟踪效果要优于ADRC和NTSMC的跟踪效果，由图9(b)可得ESO-PPNTSMC的位移跟踪误差小于ADRC和NTSMC的位移跟踪误差，其位移平均跟踪误差分别为0.116，0.317和0.329 m，图9(c)为3种控制方法的速度跟踪对比图，由放大图可得ESO-PPNTSMC的速度跟踪效果要优于ADRC和NTSMC的速度跟踪效果，由图9(d)可得ESO的速度跟踪误差要整体小于ADRC和NTSMC的速度跟踪误差，其速度平均跟踪误差分别为0.327，0.746和0.804 km/h。ESO-PPNTSMC方案的位移跟踪误差和误差约束函数之间的关系如图10所示，其中图10(a)为列车在无扰动情况下的位移误差与误差约束函数之间的关系，由图可以得到ESO-PPNTSMC的位移误差一直处于误差约束函数的约束范围内，图10(b)为列车在有干扰情况下的位移误差与误差约束函数之间的关系，由图可以得到ESO-PPNTSMC的位移误差在有干扰的情况下波动较无干扰情况下的大，但位移误差一直处于误差约束范围内。由上可以得到3种控制方法的速度和位移平均跟踪误差如表1所示。
| 控制方法 | 未加扰动 | 加入扰动 | ||
|---|---|---|---|---|
| 位移误差/m | 速度误差/(km∙h-1) | 位移误差/m | 速度误差/(km∙h-1) | |
| ESO-PPNTSMC | 0.110 | 0.283 | 0.116 | 0.327 |
| ADRC | 0.270 | 0.471 | 0.317 | 0.746 |
| NTSMC | 0.261 | 0.514 | 0.329 | 0.804 |
由图8和图9及表1可得，本文中提出的方案在跟踪列车运行的速度曲线和位移曲线时，其控制精度较其他2种方案高，当加入随机干扰时，ESO-PPNTSMC的位移平均跟踪误差可达到0.116 m，速度平均跟踪误差可达到0.327 km/h，较未加扰动时的位移平均误差0.11 m和速度平均误差0.283 km/h波动了0.006 m和0.044 km/h，较ADRC和NTSMC在加入扰动前后的位移误差和速度误差变化偏小。说明本文提供的方案可以提高列车速度控制系统的跟踪精度和鲁棒性，由图10(a)可得在控制系统的控制初期，列车的位移误差的波动误差较大，当在40～45 s之间误差的波动趋于稳定，由图10(b)可得，控制系统在0～40 s之间，列车的位移误差波动较大且最大值达到了0.183 m，已经超过预设范围，而在40～45 s之间误差的波动趋于稳定，因此ESO-PPNTSMC在提高列车控制系统的瞬态性能和稳态性能中具有有效性，而ADRC和NTSMC在控制的全过程中位移的波动较大，且系统有较差的瞬态性能和稳态性能。关于图10中误差在预设范围内的波动，这一现象受实际线路中的线路坡度和线路弯道的影响。因此，ESO-PPNTSMC可以将列车的位移跟踪误差e(t)限制在预先设定的范围内，进一步提高了高速列车自动驾驶的速度控制系统的鲁棒性和控制精度。
4 结论
1) 针对高速列车自动驾驶易受到外部不确定扰动的影响，设计了ESO对扰动进行观测和补偿，通过仿真实验可以得到当加入2种不同的随机干扰时，ESO的绝对平均误差为|eESO1|=0.043，非线性状态观测器的平均误差为|ew1|=0.437，ESO较非线性状态观测器的估计精度提高了约10倍，当加入干扰信号2时，ESO的绝对平均误差为|eESO2|=0.042 4，非线性状态观测器的平均误差为|ew2|=0.477，ESO较非线性状态观测器的估计精度提高了约11倍。因此ESO可以在短时间内收敛且实现对未知干扰的观测。
2) 针对高速列车运行过程中速度控制精度低的问题，引入预设性能控制将系统误差进行预先设定，在NTSMC的基础上设计了ESO-PPNTSMC的速度控制系统，使用了Lyapunov稳定性理论证明了该系统稳定。通过仿真实验可以得到，当加入随机干扰时，ESO-PPNTSMC对位移平均跟踪误差可达到0.116 m，速度平均跟踪误差可达到0.327 km/h，较未加扰动时的位移平均跟踪误差0.11 m和速度平均跟踪误差0.283 km/h的波动较小，说明该系统可以提高列车速度控制的精度且有较好的鲁棒性，为高速列车自动驾驶的速度控制提供了一种新的技术支持。
3) 本文是以高速列车单质点模型为基础所设计的列车速度控制系统，未考虑列车的车长以及车厢之间的耦合力，因此会导致列车在经过特殊路段时速度会发生跳变，造成较大的速度控制误差。在后续研究中可以采用一些能较为准确地反映列车实际受力情况的建模方法，如多质点建模、数据驱动建模等。
侯涛,魏建鹏,牛宏侠.基于预设非奇异终端滑模控制的高速列车速度控制研究[J].铁道科学与工程学报,2025,22(01):38-50.
HOU Tao,WEI Jianpeng,NIU Hongxia.Speed control of high-speed train based on preset nonsingular terminal sliding mode control[J].Journal of Railway Science and Engineering,2025,22(01):38-50.