1.1　基本假设

为求解季冻区非等压隧道的应力特征，做如下假设：1) 圆形隧道的衬砌和围岩为连续分布的均质材料，其受力属于平面应变问题；2) 隧道竖直和水平方向的地应力分别为p₀和λp₀，致使围岩在不同方位角的应力分布存在差异；3) 冻结围岩的体积冻胀率沿径向逐渐变化，且径向冻胀率和环向冻胀率不相等；4) 忽略围岩冻融的过程，即围岩均视为某次冻结的最终状态。

1.2　冻融循环下围岩的双重不均匀冻胀模型

在季冻区隧道开挖后，围岩沿径向和纵向逐渐冻结时存在明显的径向冻结温度梯度。受温度梯度的影响，围岩的双重不均匀冻胀表现在沿径向和环向的不均匀冻胀特性，且随径向梯度分布。考虑第N次冻融循环后围岩的双重不均匀冻胀模型如图1所示。季冻区隧道衬砌外边界r₁处的温度为T₁，此处围岩的体积冻胀率达到最大值ηtv_,N(r₁)，而在冻结围岩外边界r₂处的温度为0 ℃，此处围岩的体积冻胀率为0；位于rj处围岩的体积冻胀率为ηtv_,N(rj)，且径向冻胀率和环向冻胀率分别为ηtr_,N(rj)和ηtθ_,N(rj)。围岩不同径向位置的冻胀体积取决于实际温度值T(r)^[25]，其冻胀率沿径向的梯度分布具体可表示为^[6]：

(1)

式中：r为计算半径；r₁和r₂分别为衬砌和冻结围岩的外边界；T₁为r₁处的温度边界；ηtv_,N(r)为体积冻胀率；ζN和T(r)分别为围岩单位温度冻胀系数和实际温度值；ς为水热迁移系数；s为试验拟合参数；n₀为冻结围岩孔隙率；E₀和EN分别为第0次和第N次围岩冻融循环后的弹性模量。

图1全屏查看

双重不均匀冻胀模型

其中，冻融循环下围岩弹性模量的劣化规律为^[6]：

(2)

式中：ρ₀和l_c分别为裂纹密度和分布参数；lN、li_-1和Δli分别为N次冻融后、i-1次冻融后和第i次冻融所致的裂纹扩展半长；m和E_b分别为围岩弹性模量放大系数和冰的弹性模量；ω为裂纹长度变化量的比值。

则围岩的径向冻胀率梯度和环向冻胀率梯度定义如下：

(3)

式中：k为围岩的不均匀冻胀系数；对于季冻区隧道而言，。

1.3　非等压隧道力学模型

本文隧道模型的平衡状态求解如图2所示，其主要组成包括Ⅰ区衬砌、Ⅱ区冻结围岩和Ⅲ区未冻结围岩。季冻区隧道衬砌外围岩的状态在Ⅱ区冻结围岩和Ⅲ区未冻结围岩之间反复交替，其中某次冻结具体可视为Ⅱ区围岩首先由无约束冻胀引起边界位移(Δ₁/Δ₂)，而后在Ⅰ区衬砌和Ⅲ区围岩约束下达到平衡。由于非等压应力(p₀/λp₀)的影响，隧道衬砌(Ⅰ区)和冻结围岩(Ⅱ区)最终呈现椭圆形。

图2全屏查看

隧道力学模型

2.1　Ⅱ区围岩无约束冻胀边界位移

季冻区隧道Ⅱ区围岩的应变包括应力应变和冻胀应变，则Ⅱ区冻结围岩的径向应变、环向应变由径向应力、环向应力可表示为^[25]：

(4)

式中：为Ⅱ区围岩泊松比；为Ⅱ区围岩第N次冻融循环后的弹性模量。

基于围岩的应力平衡方程和几何方程，联立式(1)、式(3)和式(4)，并积分可得Ⅱ区围岩径向位移为：

(5)

式中：B₁和B₂为积分常量；A₁和A₂为冻融循环常量，由Ⅱ区围岩初始弹性模量具体可表示为：

(6)

联立式(4)和式(5)以及围岩几何方程可得Ⅱ区围岩的应力分布如下：

(7)

Ⅱ区围岩发生无约束冻胀时，将r=r₁和r=r₂处径向应力为0的边界条件代入式(7)可得：

(8)

将式(8)代入式(5)中即可得到Ⅱ区围岩在无约束冻胀下，内、外边界处的径向位移为：

(9)

式中：Δ₁和Δ₂分别为Ⅱ区围岩内边界和外边界处径向位移。

2.2　非等压应力作用下隧道衬砌和围岩力学响应

采用复变函数法求解非等压应力作用下衬砌和围岩的应力和位移，借助极坐标中的解析函数表示如下：

(10)

(11)

式中：z为复数；i为虚数单位；τrθ为剪切应力；θ为辐角；uθ为环向位移；φ(z)和ψ(z)为分析函数；v和E分别为泊松比和弹性模量。

Ⅰ区衬砌的分析函数和定义为：

(12(a))

(12(b))

式中：C₁、C₂、C₃、C₄、C₅和C₆为常量。

联立式(10)、式(12)和应力平衡方程可得Ⅰ区衬砌的径向应力、环向应力和剪切应力为：

(13(a))

(13(b))

(13(c))

将式(12)代入式(11)中可得Ⅰ区衬砌的径向位移和环向位移为：

(14(a))

(14(b))

式中：和分别为Ⅰ区衬砌泊松比和弹性模量。

Ⅱ区冻结围岩的分析函数、应力分量和位移分量与Ⅰ区衬砌类似，将式(12)、式(13)和式(14)中C₁、C₂、C₃、C₄、C₅和C₆分别替换为常量D₁、D₂、D₃、D₄、D₅和D₆，和分别替换为和即可获得。

考虑在非等压应力作用下，Ⅲ区未冻结围岩的分析函数和定义为：

(15(a))

(15(b))

式中：p₀为地应力；F₁、F₂和F₃为常量；λ为侧压力系数。

联立式(10)、式(15)和应力平衡方程可得Ⅲ区未冻结围岩的径向应力、环向应力和剪切应力为：

(16(a))

(16(b))

(16(c))

将式(15)代入式(11)中求解Ⅲ区未冻结围岩位移分量时，应当删除初始地应力对位移的影响，即求得径向位移和环向位移为：

(17(a))

(17(b))

式中：和分别为Ⅲ区未冻结围岩的泊松比和弹性模量。

2.3　应力、位移解答

考虑季冻区隧道围岩应力、位移边界的连续性条件，结合Ⅱ区围岩无约束边界冻胀位移和非等压应力作用下隧道应力、位移方程式求解上述常量。围岩发生冻胀时，在r=r₀、r=r₁和r=r₂处的边界条件为：

(18(a))

(18(b))

(18(c))

式中：r₀为衬砌内边界；为Ⅱ区冻结围岩剪切应力。由边界条件可求得具体参数如下：

(19(a))

(19(b))

(19(c))

(20(a))

(20(b))

(20(c))

(20(d))

(20(e))

(20(f))

(21(a))

(21(b))

(21(c))

(21(d))

(21(e))

(21(f))

式中：H₁、H₂、H₃、H₄、H₅和H₆为常量，具体可表示为：

(22(a))

(22(b))

(22(c))

(22(d))

(22(e))

(22(f))

则冻胀力Δp₁由式(13(a))计算可得：

(23)

式中：为非等压隧道围岩冻胀前作用在衬砌外边界的径向应力。

3.1　围岩冻胀力

选用文献[4]所提供的寒区隧道模型验证本文方法的有效性，具体参数如表1所示。在地应力为3 MPa的寒区隧道中，随不均匀冻胀系数k增大，对于K105+785段，/分别取值为1.0、1.1、1.2、1.3和1.3，对于K106+440段，/分别取值为1.0、1.2、1.4、1.6和1.6。由于本文方法和文献[4]方法均考虑了寒区隧道围岩的不均匀冻胀，但后者方法主要适用于等压隧道围岩的单次冻胀求解且未引入冻胀率梯度。因此，为与文献[4]方法进行对照验证，假定本文方法中的冻融循环次数N=0、侧压力系数λ=1，暂不考虑冻胀率沿径向梯度分布。

本文方法和文献[4]方法由上述参数计算所得围岩的冻胀力解答如图3所示。对比表明，随不均匀冻胀系数的增大，本文方法和文献[4]方法计算所得冻胀力吻合良好，且本文方法所求解的上/下限包含现场实测冻胀力。由此，可以说明本文方法在围岩冻胀力求解中的有效性。

图3全屏查看

围岩冻胀力解答

3.2　隧道应力分布

选用表1所示K106+440段寒区隧道参数，在地应力为3 MPa下，围岩不均匀冻胀系数k为2，/为1.5。由于本文方法和文献[3]、文献[4]方法均基于冻融区整体冻胀模型获得了寒区隧道的应力分布，但后两者方法适用范围的局限类似，且文献[3]方法假定围岩为均匀冻胀，即取k=1。因此，为将三者进行对照验证，在本文方法中取围岩冻融循环次数N=0、侧压力系数λ=1，暂不考虑冻胀率沿径向梯度分布。在文献[3]方法中引入围岩不均匀冻胀系数k，由本文方法和文献[3]、文献[4]方法所得衬砌和围岩的应力分布如图4所示。对比表明，本文方法和文献[3]、文献[4]方法计算所得结果吻合良好。因此，可以说明本文方法在寒区隧道应力求解中的有效性。由图4(a)可辨别出Ⅰ区衬砌、Ⅱ区冻结围岩和Ⅲ区未冻结围岩；随计算半径增大，隧道的径向应力连续分布且逐渐增大至Ⅱ区和Ⅲ区交界处，往外将减小并逐渐趋近地应力。如图4(b)所示，隧道环向应力的分布主要由于各部分参数的差异和Ⅱ区围岩的不均匀冻胀特性而呈现跳跃。

图4全屏查看

隧道衬砌和围岩的应力分布

4.1　双重不均匀冻胀

选用3.2节所述模型参数为基本工况，侧压力系数λ设置为0.5。不同计算条件下，考虑有无冻胀率沿径向梯度分布。其中，围岩不均匀冻胀系数k分别设置为2和3，将0°和90°方位角处季冻区隧道的应力分布绘制如图5所示。在图5(a)中，将冻胀率梯度引入基本工况后，相同k值下的径向应力明显减小且峰值降低了39%；随k值增加，Ⅰ区衬砌、Ⅱ区冻结围岩的应力变化速率提高，而在Ⅲ区未冻结围岩内无明显差异；非等压应力作用使得Ⅲ区未冻结围岩在0°方位的应力变化速率高于90°方位，随围岩远离Ⅱ区0°方位的应力变化速率逐渐减缓，从而低于90°方位。由图5(b)可知，随k值增加，冻胀率梯度的引入使得Ⅰ区衬砌的环向应力峰值分别降低了31%和44%，且因围岩环向冻胀特性的减弱使得Ⅱ区冻结围岩的环向应力减小；环向应力的变化速率在Ⅱ区冻结围岩0°方位明显低于90°方位，而在Ⅲ区未冻结围岩内呈现相反变化。如图5(c)所示，隧道不同方位角处的冻胀力因冻胀率梯度的引入而减小，随k值的增加在0°方位分别降低了0.74 MPa和1.73 MPa。综合分析可知，引入冻胀率梯度对季冻区非等压隧道的应力评估具有显著影响，表现为隧道径向应力、环向应力和冻胀力的降低，且随围岩不均匀冻胀特性的增强而明显。

图5全屏查看

双重不均匀冻胀特性影响下季冻区非等压隧道应力分布

4.2　侧压力

不同计算条件下，侧压力系数λ分别取值为0.2、0.5和0.8，将冻胀率梯度引入基本工况后所得0°和90°方位角处季冻区隧道的应力分布如图6所示。由图6(a)可知，随侧压力的增大，隧道的径向应力逐渐提高，在0°和90°方位角处应力峰值的差值分别为0.41、0.25和0.1 MPa；Ⅲ区未冻结围岩径向应力的变化速率随侧压力的增大而减缓，且在0°和90°方位之间存在的差异逐渐减小。如图6(b)所示，因侧压力的增大，Ⅰ区衬砌的环向应力峰值分别提高了22%和44%，而Ⅱ区冻结围岩、Ⅲ区未冻结围岩的环向应力变化速率在90°方位逐渐降低，但Ⅱ区冻结围岩在0°方位的应力变化速率呈现先减后增的变化趋势。由图6(c)可知，侧压力的增大对隧道不同方位角处的冻胀力无明显影响，而围岩冻胀后作用在衬砌外边界0°和90°方位的径向应力差值分别为0.31、0.2和0.08 MPa。由此分析可知，侧压力会改变季冻区非等压隧道在不同方位角处应力的分布差异，但对隧道冻胀力的影响较小，且围岩冻胀后作用在衬砌外边界不同方位角的径向应力差值随侧压力增大而减小。

图6全屏查看

侧压力系数影响下季冻区非等压隧道应力分布

4.3　冻融循环

在基本工况中，由本文方法引入冻胀率沿径向的梯度分布，侧压力系数λ=0.5。冻融循环下，基于式(1)和式(2)分别考虑冻结围岩体积冻胀率和弹性模量的改变。其中，围岩冻融参数由文献[6]所提供，具体取值为=10 GPa、==37.64 GPa、ς=1.3、s=-20、ρ₀=17 μm^-2、l_c=0.55 μm、n₀=0.006 7、ω=0.019、m=1.42、E_b=600 MPa和l₀=0.9 μm。不同计算条件下，冻融循环次数N分别设置为0、20和40，将季冻区隧道0°和90°方位角处的应力分布绘制如图7所示。由图7(a)可知，冻融循环次数的增加将引起冻结围岩弹性模量的劣化，进而导致隧道径向应力的峰值分别提高了6.5%和20%，但对0°和90°方位之间径向应力的分布差异影响较小。结合图7(b)可知，冻融循环下，隧道在0°和90°方位的环向应力变化速率大致相同；Ⅱ区冻结围岩在0°方位的应力峰值随冻融循环次数的增加分别提高了7.4%和23%，而Ⅲ区未冻结围岩在0°和90°方位的环向应力分布差异较Ⅰ区衬砌、Ⅱ区冻结围岩更为显著。如图7(c)所示，围岩体积冻胀率因冻融循环次数的增加而提高，使得隧道在0°方位的冻胀力分别为0.74、0.89和1.21 MPa。由此分析可知，冻融循环将引起围岩体积冻胀率的提高和弹性模量的劣化，进而导致季冻区非等压隧道径向应力、环向应力和冻胀力的增大，且隧道应力的增长幅度随冻融循环次数的增加而明显。

图7全屏查看

冻融循环影响下季冻区非等压隧道应力分布