1.1　变分模态分解

变分模态分解的基本思想是通过迭代优化的过程，将原始信号分解为多个模态。每个模态具有不同的频率和幅度特征，而且它们在频域上相互正交。VMD通过最小化信号与一组基函数之间的距离来实现，同时通过引入约束条件来确保分解结果的稳定性和物理可解性^[14]。约束变分问题表达式如下：

(1)

式中：原始信号被VMD分解为个具有各自中心频率为的模态分量；为狄拉克函数。DRAGOMIRETSKIY等^[15]为了将式(1)转化为无约束的优化问题引入了拉格朗日乘子和二次惩罚项。扩展后的拉格朗日表达式如下：

(2)

式中：为拉格朗日函数，后面的3项分别表示梯度函数的范数、二次惩罚项以及拉格朗日乘子项。式中第1项主要是为了评估带宽，其余2项为了确保重构约束。

为了搜寻式(2)的最优解，需通过模式分量和中心频率依据交替方向乘子法不断地迭代更新，达到条件之后终止迭代，得到个模态分量。详细分解过程见文献[15]。

VMD在分解的过程中，分解模态数和惩罚因子这2个参数预先需要通过经验人为地设置。如果选择的太小，可能无法捕获信号中的所有重要成分，导致信息丢失；选择较大的，虽然可以提高频率分辨率，更好地捕获信号中的细微变化，但可能引入冗余信息，增加计算复杂度，同时可能使得模态之间的正交性和稳定性变差。而惩罚因子如果选择过大，可能会导致模态过于平滑，造成欠拟合；而选择的过小则可能导致模态过分灵活，产生过拟合现象^[16]。因此，研究在不同情况下和进行自适应优化，对于提升变分模态分解的效率和结果具有关键意义。

1.2　霜冰优化算法

RIME算法基于物理的优化器，利用模拟霜冰中软冰针和硬冰针生长过程，来实现优化方法的探索和开发行为，并通过改进的正向贪婪选择机制进行全局寻优。SU等^[17]将该算法划分为初始化霜冰结晶点、引入软霜冰搜索策略和硬霜冰穿刺机制，并改进贪婪选择策略来建立数学模型。

RIME霜冰粒子种群位置如下所示：

(3)

式中：霜冰粒子种群可通过表示；表示霜冰晶体的序号；表示霜冰颗粒的序号。此外，所有霜冰粒子的适应度值如下式所示：

(4)

式中：为每个霜冰粒子的适应度。每个霜冰粒子在凝结之前会按照一定规律运动，自由状态的粒子则会移动到软冰附近凝结，但当超过一定的范围则无法凝结，在软冰形成的过程中每个粒子的随机性会导致凝结面积增大，受环境影响最终达到一个稳定状态。针对霜冰粒子的运动性质，霜冰粒子的位置如下式所示：

(5)

式中：为粒子更新后的位置；为霜冰种群中最优晶体的第个粒子；为的随机数，控制粒子的移动方向，并且会随着粒子移动方向迭代发生变化；为环境因子表示外部的影响因素；为粒子附着力，是的随机数，用于控制粒子间的距离；、分别表示粒子运动空间的上界和下界。为了确保收敛需设定如下式所示：

(6)

式中：为当前迭代次数；为最大迭代次数。

(7)

式中：为阶跃函数；用于控制步进函数的段数；为附着系数，会随迭代的次数增大，影响粒子的凝结概率；为的随机数，它与控制粒子是否凝结，即粒子位置是否更新。表达式为：

(8)

随软冰凝结面积增大，产生强随机性和覆盖范围广的特点，让算法能够快速覆盖全空间的搜索，从而在优化过程中兼顾了全局性和局部性。硬冰受外界因素影响会向着同一方向凝结，由于硬冰的增长方向一致，导致硬冰之间很容易交叉，实现普通粒子和最优粒子的维度交换，有利于提高解的精度。由于在迭代的过程中，粒子之间的交叉互换，避免了局部最优，提高了收敛性。随着硬冰的生长穿刺，粒子之间的交叉替换如下式所示：

(9)

式中：为当前适应度值归一化的值，表示第个粒子被选中的概率；为的随机数。

1.3　RIME-VMD

RIME-VMD利用RIME算法较强的全局搜索能力以及高效的参数更新机制搜寻出VMD分解层数和惩罚因子，确定最优参数组合。

RIME-VMD算法其核心是通过最小包络熵作为优化算法的适应度函数，得出最优参数组合。RIME-VMD流程如图1所示，算法详细步骤如下。

图1全屏查看

故障诊断步骤图

1) 对RIME及VMD各项参数初始化，设定RIME霜冰种群以及迭代次数、、优化问题的上界和下界；

2) 输入原始信号；

3) 根据当前迭代次数与总迭代次数的比值来计算粒子的附着系数，当随机数时根据方程(5)更新粒子位置；

4) 根据归一化的适应度值(最小包络熵)来控制粒子的位置更新。若随机数更新粒子位置；

5) 通过比较每个新位置的适应度值与当前位置的适应度值来更新最优粒子位置和最优适应度值；

6) 若满足循环条件，且当时输出最佳参数组合，代入VMD进行分解，算法结束。若未达到条件，则更新迭代次数，继续下一轮迭代直至满足条件。

3.1　仿真数据

实验数据通过基于多体动力学软件Simpack构建的某动车组车辆系统非线性动力学模型进行仿真获得。仿真模型如图2所示。该模型由1个车体、前后2个转向架、前后各2个横向减振器、前后各4个抗蛇形减振器以及前后各2个空气弹簧等组成。为模拟真实路况，仿真实验所加轨道激扰为武广线轨道谱，并分别在220、280和320 km/h的速度下运行3 min，故障信号通过分布在车体、构架和轴箱各个位置的传感器采集得到，采样频率为243 Hz，包括横向、纵向和垂向的振动加速度数据，共27个通道数据，每个故障选取样本共7 290个数据点，时间长度为30 s。横向减振器的6种故障类型如表1所示。

图2全屏查看

仿真模型

为使仿真数据真实有效，模型在280 km/h的速度下，通过脱轨系数以及轮重减载率分析了模型的有效性，模型验证如图3所示。根据我国《高速动车组整车试验规范》^[21]规定，当速度大于200 km/h时，脱轨系数以及轮重减载率应小于等于0.8。由图中可以看出，车辆通过曲线线路的最大脱轨系数为0.167，最大轮重减载率为0.37，远小于所规定的数量限制，由此可得该模型符合高速列车动力学要求。

图3全屏查看

模型验证

图4为前转向架构架左侧的横向加速度的6种故障部分时域和频谱信号图。由图4仿真数据可得，6种故障信号的时域图分布比较相似，且由频谱图可以看出，故障频率几乎都在20 Hz以下，几乎无法区分。

图4全屏查看

6种故障信号的时域图和频谱图

3.2　振动信号的RIME-VMD分解及重构

通过VMD对信号进行分解时，首先需设置分解层数和惩罚因子。当取值过大会引入残余分量；反之会分解不充分造成故障信息的丢失。惩罚因子的大小主要影响模态不同程度的拟合现象。通过霜冰算法(RIME)来确定VMD中分解层数和惩罚因子最优参数组合，将最大迭代次数设置为100，取[2,10]的整数，上边界设置为2 000，下边界设置为100，取[100, 2 000]数值。选用前转向架的构架左侧的故障1的横向加速度信号进行分解，选取1 000个数据点作为分解样本。图5为故障1信号通过RIME-VMD方法和GWO-VMD方法分解的结果。

图5全屏查看

故障信号1的分解结果

由图5(a)可以看出，RIME-VMD分解后的任意2个模态分量互不重叠，没有产生过分解现象，同时同一模态分量中也不存在不同尺度的信息，分解后的故障频率主要集中在20 Hz以下，没有产生分解不充分的现象。GWO-VMD分解结果如图5(b)所示，虽然IMF1～IMF6分解充分，但是IMF7和IMF8出现了过分解现象，说明通过GWO算法在寻优时产生了局部最优的现象。图6为原始VMD分解结果，图6(a)中，当取7时，IMF1上存在不同模态上的故障信息，产生分解不充分的现象；图6(b)中，通过验证当取8时，与GWO-VMD分解效果一致，IMF7和IMF8产生过分解现象；图6(c)中，通过人工试错选取时，不同IMF分量上既不存在分解不充分的现象，也不存在过分解的现象。

图6全屏查看

故障1信号的变分模态分解结果

为模拟真实环境中的复杂情况，在仿真过程中引入了轨道激励谱。图7为RIME-VMD分解后的其他5种故障信号的结果，以最小包络熵作为适应度函数可以更好地捕捉和保留信号的本质特性，特别是对于非平稳信号，最主要的是有助于RIME优化算法避免陷入局部最优，从而更好地找到全局最优解，由6种故障信号的分解效果来看，表现出了更强的鲁棒性。

图7全屏查看

5种障信号的霜冰优化变分模态分解结果

为使其在降噪的同时确保信号不失真，在重构信号的过程中选择不同尺度上峭度值较大的前4阶IMFs分量，并且在这4个IMFs分量中选取相关性系数较高的前3阶IMFs来重构信号。表2列出了6种故障信号经过RIME-VMD全拆后的各IMFs的峭度值和相关性系数，选取进行重构的IMFs分量为表中加粗的IMF。图8展示了6种故障的原始信号和重构后的信号。从图中可以明显看出，当在信号重构时，同时考虑不同尺度的峭度值和原始信号的相关性，可以有效地实现去噪，显著提高了信号的质量和清晰度。

图8全屏查看

6种故障信号重构前后的波形图

为了说明RIME-VMD的高效，图9为RIME-VMD方法和GWO-VMD方法在分解6种故障信号时的平均优化迭代曲线图，RIME-VMD和GWO-VMD每个方法在寻优的过程中总共迭代10轮，每轮迭代10次。由图9可以看出，RIME-VMD用最少的迭代次数可以寻得全局最优的参数组合。表3为不同方法分解6种故障信号时，所需的平均时间。通过平均分解时间也可以看出，RIME-VMD相比于GWO-VMD的高效性；虽然原始VMD分解效率最快，但是在参数的选择上人工试错成本较高，不利于高速列车故障诊断的需求。

图9全屏查看

霜冰优化变分模态分解和灰狼优化变分模态分解的迭代曲线

3.3　特征提取与支持向量机故障识别

通过RIME-VMD对6种故障信号的分解及重构后，再计算出重构信号的不同尺度上的奇异熵、样本熵、排列熵分别作为故障特征向量，为了去除特征之间的冗余信息，提高故障诊断的效率与准确率，通过t-SNE的非线性降维算法，计算出高维数据中点之间的相似性，组成一个相似性矩阵，并通过相似性将高维数据映射到低维中，而不相似的特征在低维空间中会远离。图10为t-SNE降维后的特征可视化图。通过t-SNE将高维特征映射到低维的过程中，保持高维空间中点之间的相对距离和概率分布，在低维空间中尽可能地重现这些关系，降维后不同特征维度上的正负值并不代表特征的正负值，而当特征分布在某一维度的正半轴时，说明该特征在该维度上对这一故障有较高的重要性。由图10可以看出降维后各个故障之间的特征分离程度较高，无明显交叉重叠部分。

图10全屏查看

多尺度特征降维可视化

每个故障取70个数据点作为一个样本，6种故障总共包含600个样本集，随机选取480个样本作为训练集，120个样本作为测试集。将6种故障的样本集与训练集输入到支持向量机中进行分类，分类后的准确率如图11所示。以多尺度奇异熵作为特征，通过图11(a)分类后的结果看出，120个测试样本，这2个误判结果分别是故障4和故障5，这也可以从降维后的特征可视化的图10(a)中看出，故障4和故障5这2个特征有少许交集。为了证明该方法的优越性，以同样的方式，分别提取了6种故障在220 km/h下的多尺度样本熵和多尺度排列熵作为特征值进行了故障识别，识别的准确率如图11(b)和图11(c)所示。以多尺度样本熵和多尺度排列熵作为特征值时，故障1和故障5出现了误判的情况，且从降维后特征可视化图10(b)和图10(c)中可以看出，除了其他几种故障特征，故障1和故障5之间的特征存在较少交集，故障识别率分别达到了97.5%。为了验证该方法的鲁棒性，分别在280 km/h、320 km/h速度下进行了仿真，并与GWO-VMD和原始VMD的方法进行了故障诊断识别率的对比，对比结果如图12所示。通过故障诊断的准确率可见，RIME-VMD通过霜冰优化算法的全局搜索能力以及正向贪婪机制，避免在不同工况下VMD分解时参数陷入局部最优，增强了VMD分解的鲁棒性，准确分解出横向减振器各故障信号包含的故障子频率，有效提取了故障特征，提高了故障诊断的准确率，证明了该方法的有效性和优越性。

图11全屏查看

故障识别率

图12全屏查看

不同速度下故障识别率