1.1　双等箱模型

双等箱系统，顾名思义就是使双箱系统分割出的两部分库存量相等。双等箱系统通常一部分库存为工作仓，另一部分库存为储存仓。对于水泥物资而言，无法对使用一半的筒仓进行补货，只有当一个筒仓水泥全部用完后，才能补货，筒仓大小不一致会带来更高的人工成本。在实际问题中如图1所示，每个圆柱体代表一个筒仓，总共有2个批次，每个批次有1个筒仓，一个批次的水泥量为，一个筒仓可装水泥量，即水泥罐车容量倍数系数和水泥罐车载重量的乘积。在双等箱模型中包含2个水泥筒仓，箱的容量等于筒仓容量也等于批量。在实际应用中，一个批次的水泥可以放在多个水泥筒仓中存储。

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水泥双等箱模型原理及库存曲线

双等箱系统订购数量和重新订购点是相同的，当水泥运达时，理想情况下新到达的批次水泥正好补充库存。该模型的示意图如图1(a)。

在双等箱系统中，再订货点和订货量这2个参数是相同的;当水泥库存下降到时，开始采购数量的水泥。

在第1个周期后的双箱模型达到稳定状态，如图1(b)所示，考虑在稳定状态下，当采购提前期为，单位时间需求为时，最低库存为

(1)

假设提前期期间的每日需求服从平均值和标准差的正态分布，可得到在客户服务水平位的前提下，安全库存为

(2)

这是处理需求和采购提前期不确定的情况下最基础的方法，具体可查阅文献[22-23]。在模型中要满足最低库存水平大于安全库存，则有，即。

从图1(b)可知，最高库存为

(3)

可以得出平均库存量为

(4)

如果缺货损失很小，不考虑缺货情况，库存总成本主要由两部分构成，即库存持有成本和采购成本，因此库存总成本为

(5)

其中，等式右边第1项是库存持有成本，第2项是采购成本。求式(5)1阶导的零点，可以得到双等箱模型的最优订货批量，用表示双等箱模型的最优订货批量，其表达式为

(6)

已知库存总成本函数是一个关于容量的U型函数，因此若要保证，则取最小时，库存最低点满足，若要使得水泥要保证筒仓利用率最高，其容量应为水泥罐车容量的正整数倍，用表示双等箱模型最优箱的容量，即

(7)

在双等箱模型中，单批次采购量等于单个水泥筒仓的容量等于单个箱的容量，在实际应用中，为方便储存，可以使用多个小型筒仓代替大型筒仓，这一点在3.5节中加以考虑。

1.2　多等箱模型

多等箱模型是将水泥库存分为等份，当用完一部分之后立即发起订货，其剩余部分的总量应为提前期内的需求加上安全库存量，如此循环往复进行订货^[21]。

图2(a)为多等箱示意图，其中最大总库存量为个水泥筒仓的水泥存储量，即。订货批量为1个水泥筒仓的水泥存储量，即。多等箱模型示意图如图2(b)所示。

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水泥双等箱模型原理及库存曲线

该模型同样只考虑存储成本和采购成本。

如图2(b)所示，第1个周期后的多等箱模型达到稳定状态。在稳定状态下，可以对该模型进行分析。

最低库存为

(8)

同双等箱模型，为了保证适当的客户服务水平()，模型中需要考虑安全库存，安全库存如式(2)所示。在该模型中同样要满足最低库存水平大于安全库存，也就是，即。

最高库存为

(9)

因此，可以得出平均库存量为

(10)

同样不考虑缺货的情况，库存总成本由库存持有成本和采购成本构成，可得到库存总成本为

(11)

对式(11)1阶求导，并令导数为0，可以得到多等箱模型的最优订货批量，多等箱模型的最优订货批量为

(12)

同样，考虑水泥的筒仓容量应为水泥罐车容量的正整数倍，用表示多等箱模型最优箱的容量，即

(13)

2.1　采用连续检查库存控制策略的多等箱模型

采用连续检查库存控制策略的多等箱模型是在多等箱模式的基础上，考虑当实施多等箱系统时，对库存状态进行连续检查，当消耗等份库存后再发起订货。

图3(a)为采用连续检查库存控制策略的多等箱示意图，其中最大总库存量为个水泥筒仓的水泥存储量，即。订货批量为个水泥筒仓的水泥存储量，即。采用连续检查库存控制策略的多等箱模型示意图如图3(b)所示。

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采用连续检查库存控制策略的多等箱原理及库存曲线

如图3(b)中所示，库存消耗等份后，开始采购，采购提前期为，第1个周期后的多等箱系统达到稳定状态。

最低库存为

(14)

最低库存水平应大于安全库存，也就是，有。

最高库存为

(15)

因此，可以得出平均库存为

(16)

同样，不考虑缺货，库存总成本仅考虑库存持有成本和采购成本，库存总成本为

(17)

求式(17)1阶导的零点，可以得到采用连续检查的多等箱优化模型的最优订货批量，多等箱优化模型的最优订货批量为

(18)

用表示采用连续检查库存控制策略的多等箱模型最优箱的容量，即

(19)

在采用连续检查库存控制策略的多等箱模型中，单批次采购量等于倍的单个水泥筒仓的容量等于倍的单个箱的容量。

2.2　采用周期检查库存控制策略的多等箱模型

采用周期检查库存控制策略的多等箱模型是通过设定采购周期和最高库存量，从而达到库存控制的目的。周期检查的库存策略在某些情形下，相比连续检查库存策略更为适用，该模型示意图如图4。

图4全屏查看

采用周期检查库存控制策略的多等箱模型示意图

在该模型中，每个水泥筒仓容量为，一共建有个水泥筒仓，假设采购了一个批次的水泥，可以存放在个筒仓中，与之前的模型不同的是，在周期检查情境下，非恒定的，而是变化的。如图4所示，在周期检查情况下，对于稳定状态下的多等箱库存优化模型进行分析。

最高库存为

(20)

最低库存为

(21)

同样，安全库存如式(2)，有，即。

则平均库存应为

(22)

该模型中同样不考虑缺货成本，库存总成本由库存持有成本和采购成本构成，则库存总成本为

(23)

该模型的理想目标库存水平为

(24)

将式(24)代入式(23)求1阶导为0，得到该模型的最优采购周期为

(25)

用表示采用周期检查库存控制策略的多等箱模型最优箱的容量，即

(26)

2.3　模型差异

在模型构建上双等箱模型和多等箱模型都是采用连续检查策略。采用连续检查策略的多等箱模型以及采用周期检查策略的多等箱模型是对多等箱模型的改进模型。几个模型的差别详见表2。

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各模型之间差别

	检查策略	最优筒仓容量	最大总库存量	单次订货批量
双等箱模型	连续检查		2
多等箱模型	连续检查
采用连续检查策略的多等箱模型	连续检查
采用周期检查策略的多等箱模型	周期检查			(不恒定)

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3.1　数据准备

本文调研某一铁路工程建设项目工段，根据调研数据对水泥等箱法库存模型求解及分析。此项目日平均水泥需求为322.16 t，日均需求标准差约为86.20 t，水泥的正常运输时间为2 d，但在某些偏远地区道路运输时有中断，运输时间可能会达到4 d，设定采购提前期平均值为3 d，采购提前期的标准差为1 d，需求满足率为95%，则1.645，安全库存为

(27)

水泥库存控制的单位采购成本主要是运输价格、人工费用等多项费用构成，单位存储成本主要是筒仓的运营成本。水泥罐车一车可以装6～18 m³水泥，以8 m³为主，水泥的密度按照3.1 t/m³，通过计算得到水泥罐车的装载量为24.3 t。模型参数详见表3。

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参数值汇总表

符号	参数说明	参数值
	日平均需求量	322.16
	单位库存每日存储成本	0.5
	单次采购成本	5 000
	平均采购提前期	3
	安全库存量	584.10
	需求满足率	0.95
	水泥罐车可承载重量	24.3
	日需求量的标准差	86.20
	采购提前期的标准差	1

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3.2　算例求解结果

1)双等箱模型

首先，按照上述参数，可以得到水泥双等箱模型单个筒仓容量1 555.2 m³，水泥罐车容量倍数系数，总成本。

2) 多等箱模型

对于多等箱模型，先对不同的水泥筒仓数量求出对应的水泥筒仓最优容量，并计算库存总成本，最低成本所对应的解即为最优解。从图5(a)中可以看出，库存成本在水泥筒仓数时达到最低，最低成本为2 354.77元，在此时水泥罐车容量倍数系数，水泥筒仓容量为 t。多等箱模型最优水泥筒仓数量取临界值3，且库存成本曲线随着水泥筒仓数量的增大不断上升，表明在订货批量大、需求波动大的情况，多等箱模型并不适宜。

图5全屏查看

等箱法模型库存总成本曲线

3) 采用连续检查库存控制策略的多等箱模型

对于采用连续检查库存控制策略的多等箱模型，具体求解步骤与多等箱模型相似。如图5(b)为采用连续检查库存控制策略的多等箱模型的库存总成本变化曲线，从该图中可以得到在时库存总成本最低，最低成本1 563.55元，此时水泥罐车容量倍数系数，筒仓最优容量为194.4 t。由于加入水泥罐车容量倍数系数，所得到的成本曲线不是光滑的。在较小时，波动较小，随着增大，波动增大。

4) 采用周期检查库存控制策略的多等箱模型求解

针对采用周期检查库存控制策略的多等箱模型，可以发现求得的最优检查周期与水泥筒仓数量的值是无关的，水泥检查周期为：

(28)

求解方式同采用连续检查的多等箱模型，如图5(c)所示为采用周期检查策略的多等箱模型的库存成本曲线，可以发现该模型同样存在多个极值，最低成本为1 562.94元，此时最优水泥筒仓数，水泥罐车容量倍数系数，水泥筒仓容量为826.2 t。

3.3　模型算例结果分析

一些铁路工程建设项目的水泥库存控制采用双箱法，以双箱为比较基准，对比不同模型的优化效果。多等箱模型在大批量订货，且需求不稳定的情况下并不适用，优化后的多等箱模型相比于双等箱模型对于铁路施工项目的成本管控有较大的增益，水泥库存成本降低比率可达9.07%，采用连续检查和周期检查策略的多等箱模型对成本的优化差异不大。分析双等箱、多等箱以及采用连续检查策略的多等箱模型主要的差别，设最大水泥筒仓数量与水泥筒仓批量的比值为。双等箱模型的恒等于2，多等箱的为大于2的正整数，理论上采用连续检查策略的多等箱模型的可以为大于0的任意分数。因此，双等箱模型适宜于需求和提前期波动较小的货物，多等箱模型适宜于批量较小，缺货损失较高的货物，而采用连续检查策略的多等箱模型和采用周期检查策略的多等箱模型适宜的范围更加广泛。

3.4　灵敏度分析

1) 水泥罐车容量

将水泥罐车容量按GB/T 5059中规定，取额定装载量中25、30、35、40以及45 t，可得到如表5所示结果。可以发现，水泥罐车容量对于不同库存模型的影响较小，对于库存策略的选择存在一定程度的影响，从结果上分析，在当前参数设定下，越大的水泥罐车装载量越易使周期检查所求得的目标库存远离最优，使成本增加，因此，采用连续检查的多等箱库存策略可以更好地控制库存。

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实施效果对比

库存模型						优化程度/%
双等箱模型	2	1	64	1 555.20	1 718.91	—
多等箱模型	3	1	47	1 142.1	2 354.77	36.99
采用连续检查策略的多等箱模型	21	13	8	194.4	1 563.55	-9.04
采用周期检查策略的多等箱模型	5	—	34	826.2	1 562.94	-9.07

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表5全屏查看

水泥罐车容量变动的成本变化

库存模型	25	30 t	35	40	45
双等箱模型	1 721	1 719	1 721	1 719	1 721
多等箱模型	2 355	2 355	2 355	2 355	2 356
采用连续检查策略的多等箱模型	1 573	1 566	1 573	1 566	1 573
采用周期检查策略的多等箱模型	1 567	1 567	1 564	1 597	1 564

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2) 需求和采购提前期

用表示参数变动的百分比，得到图6需求和采购提前期变动的成本变化曲线，从左到右分别为采购提前期、采购提前期标准差、需求量平均值和需求量标准差的变化对库存总成本的影响。

图6全屏查看

需求和提前期灵敏度分析图

从结果中可以看出，采购提前期以及采购提前期标准差变化对库存模型的选择影响不大，多等箱优化模型相比于双等箱模型成本都更低，但是随着采购提前期以及采购提前期标准差的增大双等箱模型和多等箱优化模型的差距逐渐减小。值得注意的是，采购提前期的变动对采用周期检查和采用周期检查库存控制策略的多等箱模型几乎没有影响，采购提前期标准差的变动对双等箱模型的成本几乎没有影响。

需求量标准差变动对各模型的成本影响较小，且采用周期检查和采用周期检查库存控制策略的多等箱模型随着需求标准差的增加而呈现阶梯性增加，增加幅度较小。需求量平均值越大，双等箱模型和采用周期检查与采用周期检查库存控制策略的多等箱模型的差距越小。

3.5　筒仓储备数量仿真模拟分析

在实际的生产过程中，由于需求量以及提前期的波动，水泥筒仓可能会出现准备过多或者准备不足的情况。水泥罐车到达时，需要立即卸货，因此需要对水泥筒仓的储备数量进行进一步的研究。

1) 仿真逻辑

该节中，通过仿真程序实现对铁路施工现场水泥库存变化的模拟，记录每日水泥库存量，从而获得水泥筒仓使用量，为避免水泥到达时无法存储的情况，水泥筒仓最优储备量应为水泥筒仓使用量的最大值。当前筒仓满足率即为当前水泥筒仓储备量占最优筒仓储备量的百分比。最优储备量水泥筒仓利用率即为水泥平均每日库存量占最优水泥筒仓储备容量的百分比。当前水泥筒仓利用率即为水泥平均每日库存量占当前筒仓储备容量的百分比。依据表3中的参数设定以及表4中的水泥筒仓数量和容量对水泥筒仓储备数量进行仿真。

2) 仿真结果

重复实验1 000次，最终结果如表6所示。双等箱库存控制策略在实际的运作中，常常将多个相同大小的水泥筒仓分为2等份，一部分作为储存仓，一部分作为订购仓，在仿真中考虑这一点，由于设定水泥筒仓容量只能为整数倍的水泥罐车容量，在需求满足率为0.95的情况下，考虑共使用2、4、8和16个水泥筒仓对项目库存成本、管理效率和服务水平的影响。从结果中可以发现，对于双等箱模型而言，水泥筒仓数量越多，水泥筒仓的满足率越高，当前筒仓利用率越低。但在水泥筒仓理论储备量为4，实际储备量为5时，最优筒仓储备量筒仓利用率最高，这说明在双等箱模型中，一味地增加水泥筒仓数量并不是更优的选择，过多的筒仓可能会导致资源的浪费和效率的下降，应该找到某一适当的筒仓数量。

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水泥筒仓储备量仿真结果

	库存模型					最优筒仓储备量	当前筒仓满足率/%	最优储备量筒仓利用率/%	当前筒仓利用率/%
需求满 足率=0.95	双等箱模型	2	1	1 555.20	64	3	66.7	53.08	79.64
		4	2	777.6	32	5	80	53.54	66.87
		8	4	388.8	16	10	80	48.49	60.66
		16	8	194.40	8	20	80	46.00	57.47
	采用连续检查策略的多等箱模型	21	13	194.40	8	21	100	55.33	55.33
	采用周期检查策略的多等箱模型	5	—	826.20	34	5	100	52.63	52.63
需求满 足率=0.99	双等箱模型	2	1	1 895.40	78	3	66.7	55.17	82.80
		4	2	947.7	39	5	80	56.22	70.29
		12	6	315.9	13	14	85.7	53.06	61.95
	采用连续检查策略的多等箱模型	7	4	631.8	26	7	100	63.63	63.63
	采用周期检查策略的多等箱模型	4	—	1 117.8	46	4	100	59.11	59.11

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而采用连续检查和采用周期检查策略的多等箱模型筒仓满足率均为100%，也就是说，在采用周期检查和连续检查策略的多等箱模型中，不需要额外储备水泥筒仓，从而减少资金占用，且在需求满足率为0.95和0.99这2种情况下，采用连续检查策略的多等箱模型水泥筒仓最优储备量下的利用率均为最大，分别为55.33%和63.63%。筒仓满足率与筒仓利用率是相背相反的2个指标，筒仓满足率高则会带来筒仓利用率的下降，筒仓满足率低，则会带来筒仓利用率的上升。需求满足率的增高会带来水泥储备量的增加，从而带来更高的库存成本，追求更高服务水平的同时，需要权衡库存成本和资源利用效率。对于该问题背景下，需求满足率为0.99相比于0.95降低了多等箱优化模型的最优筒仓量，增加了水泥筒仓容量，从而带来了筒仓利用率的上升。