1.1　现有连续级配方程的局限性

朱俊高等^[13]和吴二鲁等^[11]-连续级配方程分别见式(1)和式(2)：

(1)

式中：P为小于某粒径的颗粒含量；d为粒径；m和b为特征参数，前者决定曲线的倾斜程度，后者决定级配曲线的形态，m>0，b<1；d_max为最大粒径，决定级配曲线在横坐标轴的相对位置。

(2)

式中：β为级配参数，0<β<1。

整理收集工程中不同类型砂土(砾砂、粗砂、中砂、细砂和粉砂)的级配^[21-22]，利用Origin软件分别采用朱-连续级配方程和吴-连续级配方程对其进行拟合，结果如图1和表1所示。分析可知：1) 朱和吴-连续级配方程均可较好地反映砾砂、粗砂、中砂和细砂的级配特征，拟合度R²分别大于0.985和0.920，但对细粒含量的拟合误差较高，特别是对细粒含量较低的砾砂，拟合误差分别为118.75%和200%。2) 对细粒含量较高的粉砂，上述方程的反映效果同样不佳，拟合度R²分别仅有0.885和0.785，但细粒含量的拟合误差则有所降低。可见，朱和吴-连续级配方程均难表征细粒含量较高的粉砂的级配特征及砾砂、粗砂、中砂和细砂的细粒含量，因此这2个方程难以准确反映砂土的细粒效应。

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现有连续级配方程拟合砂土级配

1.2　单参数连续级配方程的建立

针对现有连续级配方程无法准确定量表征砂土细粒含量的问题，通过引入粒径小于0.075 mm的细粒含量f_c对式(1)进行改进，具体步骤如下：

将式(1)中的参数b用特征参数m、细粒含量f_c和最大粒径d_max表示，如式(3)所示。

(3)

式中：f_c为粒径小于0.075 mm的细粒含量；D_max为粒径0.075 mm与最大粒径的比值，无量纲。

将式(3)代入式(1)，得到综合考虑砂土级配特征、粒径特征和细粒含量的单参数连续级配方程，如式(4)所示。分析式(4)可知：单参数连续级配方程含有特征参数m、细粒含量f_c和最大粒径d_max 3个级配方程参数。其中，f_c和d_max可通过已知的级配曲线确定，特征参数m可用优化拟合来确定，即在P-lgd坐标系中，拾取级配曲线上坐标点(di, Pi)，再借助Origin等工具软件利用公式(4)对坐标点(di, Pi)进行拟合，求出特征参数m。

(4)

式中：Pi为颗粒粒径小于i mm的含量；Di为粒径0.075 mm与粒径i mm的比值，无量纲。

2.1　级配曲线特征的反映能力分析

合理的级配方程应能较好地反映级配曲线的3种典型形态，即双曲线形、反S形和近似直线形^[13]。为分析单参数连续级配方程对级配曲线特征的反映能力，在P-lgd坐标系中，分别绘制d_max=10 mm和f_c=5%条件下，不同特征参数m对应的级配曲线、d_max=10 mm和m=0.8条件下，不同细粒含量f_c对应的级配曲线以及m=0.8、f_c=5%条件下，不同最大粒径d_max对应的级配曲线，如图2所示。分析图2可知：1) d_max和f_c取定值时，随着特征参数m的增加，级配曲线形态从双曲线形逐渐变为反S形，当m=1.2时，曲线形态近似呈直线形，而且曲线主体部分的倾斜程度也会随特征参数m的增加而变大；2) d_max和m取定值时，随着细粒含量f_c的增加，级配曲线在纵坐标轴的相对位置逐渐向上，但级配曲线在形态特征、主体部分的斜率和横坐标轴的相对位置均保持不变；3) m和f_c取定值时，随着最大粒径d_max的增加，级配曲线在横坐标轴的相对位置逐渐向左，但级配曲线在形态特征、主体部分斜率和纵坐标轴的相对位置均保持不变。

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级配方程参数与级配曲线形态的关系

综上所述，最大粒径d_max和细粒含量f_c分别决定了级配曲线在横、纵坐标轴的相对位置，特征参数m决定级配曲线的形态特征和主体部分的斜率。因此，单参数连续级配方程能良好地反映出不同形态的级配曲线，能准确定量且直观地表征最大粒径和细粒含量，具有优越性。

2.2　适用性验证

为进一步论证所提单参数连续级配方程的优越性，对2.1节中不同类型砂土的级配进行拟合，并与朱和吴-连续级配方程的拟合结果进行对比，结果如图3和表2所示。分析图3和表2可知：1) 单参数连续级配方程能很好地反映砂土的级配曲线特征，拟合度R²≥0.980，特别是对细粒含量较高的粉砂，拟合度R²仍可达0.987，效果远优于朱和吴-连续级配方程的拟合结果(见图1和表1)，且单参数连续级配方程可以准确定量地表述砂土的细粒含量。综合而言，单参数连续级配方程对砂土级配特征具有更好的表征效果；2) 该方程仅有一个特征参数m，能更方便定量研究砂土的级配特征对其物理力学性质的影响规律。

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单参数连续级配方程拟合砂土级配

4.1　根据级配特征值进行级配设计

研究砂土作为路基填料的压实特性时，通常需设计不同级配特征的砂土，并进行对比试验。比如某路基填料d_max=10 mm、f_c=3%，要求在C_c=1.5的条件下设计C_u分别为6.0、7.5、9.0、12.0和20.0的级配。以C_u=6.0为例，将d_max、f_c、C_c和C_u代入式(8)和式(9)可得：

(14)

(15)

解式(14)和式(15)可得到m=1.429。同理，可得其他C_u值对应的特征参数m，如表4所示。将表4中的级配方程参数m、f_c和d_max代入到单参数连续级配方程，利用MATLAB软件计算得到不同C_u值对应的一系列(di, Pi)值，并绘制出相应的级配曲线，如图4所示。级配曲线确定后，即可根据曲线确定各粒径组的含量，配置出满足级配要求的砂土。

图4全屏查看

不同C_u值的级配曲线

4.2　根据级配特征区间进行级配设计

4.2.1　不同细粒含量砂土的级配设计

研究砂土渗透系数的细粒效应时，需设计不同细粒含量的砂土级配。以文献[19]的级配设计为例，砂土d_max=0.25 mm，要求C_u=1.5～10.0，C_c=2.07。在此基础上，设计出若干组f_c变化的级配。基于上述条件和式(9)、式(10)，建立关于级配方程参数m和f_c的不等式组如下：

(16)(17)

利用MATLAB软件将式(16)和式(17)表示的曲线绘制在f_c-m坐标系中，如图5所示。分析图5可知：曲线C_c=2.07被曲线C_u=1.5和C_u=10.0所夹成的曲线段AB是满足设计条件的级配方程参数解集，即0.590≤m≤3.418、0.78%≤f_c≤30.21%中满足C_c=2.07的解集(m, f_c)。由此可确定一簇级配曲线，然后根据曲线同样可以确定所需的各粒组含量，配置出满足级配要求的砂土。

图5全屏查看

满足设计条件的级配方程参数解集

4.2.2　不同细粒含量砂土的级配设计

砂土级配良好的条件为不均匀系数C_u>5，曲率系数1≤C_c≤3^[23]。分析式(7)可知，当m>0、0<f_c≤100%时，b<1。在b<1条件下，基于式(9)可知C_c>1恒成立。故级配良好砂土的特征参数m和细粒含量f_c只需满足C_u>5、C_c≤3即可。因此，在f_c-m坐标系中，利用MATLAB软件绘制f_c=f₁(m; C_u=5)和f_c=f₂(m; C_c=3)2条曲线。这2条曲线和m>0、0<f_c≤100%所围成的区间即为砂土级配良好(C_u>5、1≤C_c≤3)条件下特征参数m和细粒含量f_c的取值区间，该区间外，砂土为级配不良。

为了获得级配良好砂土对应的级配方程参数取值区间，基于工程中常见天然砾砂、粗砂、中砂、细砂和粉砂的最大粒径d_max，利用上述方法在f_c-m坐标系中，绘制不同类型砂土级配良好所对应的特征参数m和细粒含量f_c的取值区间；进一步，整理收集工程中不同类型砂土(砾砂、粗砂、中砂、细砂和粉砂各15组)的级配^[21-22]，采用单参数连续级配方程对其进行拟合，并在f_c-m坐标系中绘制拟合获得的坐标点(m, f_c)，具体见图6。分析图6可知：1) 最大粒径d_max决定了级配良好条件下对应的级配方程参数(特征参数m和细粒含量f_c)的取值区间。即使是相同类型的砂土，最大粒径d_max不同，级配良好条件下对应的级配方程参数取值区间也不同。2) 当m>1.616时，无论f_c如何变化，C_u均小于5，即砂土级配不良；当m=0.861时，2条曲线相交，此时C_u=5、C_c=3，即砂土处于级配良好的临界状态。3) 已知砂土最大粒径d_max，可获得该最大粒径的砂土级配良好对应的特征参数m和细粒含量f_c的取值区间。基于砂土实际级配方程参数m和f_c，可快速判别该砂土的级配良莠情况。4) 工程中不同类型砂土的级配方程参数坐标点分布在级配良好和级配不良的2个区域且分布较为集中，可获得代表工程中不同类型砂土特征参数m和细粒含量f_c的常用取值区间如表5所示。该区间的确定对工程所用砂料级配的统计、研究与设计具有指导价值。

图6全屏查看

不同类型砂土级配方程参数分布和级配良好参数区间

表5全屏查看

不同类型砂土级配方程参数的常用取值区间

砂土 类型	级配方程参数区间
	特征 参数m	细粒含量fc/%	最大粒径 dmax/mm
砾砂	0.4～1.8	0～6	20
粗砂	0.4～2.2	0～8	10
中砂	1.0～2.8	0～12	5
细砂	1.4～3.7	5～15	2
粉砂	1.6～4.2	15～50	0.5

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