2.1　递推平均滤波

由于传感器存在噪声干扰，因此采集的电压信号是带有微小波动的非平滑信号。为了减小不平滑分量对实验结果所造成的影响，使用平均滤波递推算法进行滤波。将一系列连续的采样值按照一定的权重进行平均化处理，从而使信号变得更加平滑。将信号传感器采集到的信号记为数组X：

(7)

使用平均滤波法：

(8)

滤波得到数组A：

(9)

其中：。对电压信号进行如上滤波，将结果，进行后续计算。

2.2　电容器容值辨识

对于电容值C的辨识采用改进的粒子群算法。粒子群算法的原理为通过模拟鸟类觅食行为估算最优解。每个离散粒子代表一只鸟，目标解代表食物点。粒子在随机搜寻目标解的过程中，受到自身速度、个体经验、群体经验的影响，进而通过有限次迭代找到限定范围内的最优解。本算法在粒子群算法的基础上改进了粒子迭代的系数，使其具有更强的全局搜索能力和更快的收敛速度。以下为算法实现具体过程。

随机生成n个粒子的初始位置x=(b₀,b₁)，分别初始化每个粒子的速度v=(v₀,v₁)，其中b₀和b₁为位置向量的2个参数，v₀和v₁为2个参数方向上的速度分量，如图4所示。

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速度初始化示意图

其中x₁和v₁分别表示第1个粒子初始的位置和速度，xi和vi分别表示第i个粒子初始的位置和速度。

接下来计算第i个粒子的损失值e(i)。根据式(4)，有

(10)

则损失函数可表示为

(11)

粒子的损失函数值越小，则表示粒子越接近最优解，称其位置越优。每次迭代分别计算每个粒子的损失值，记录历次迭代的群体最优位置和每个粒子的个体最优位置。

迭代过程中，粒子的速度更新公式和位置更新公式分别为

(12)

(13)

其中，w为惯性权重，表示粒子对自身速度的记忆；c₁，c₂为学习因子，分别表示粒子对自身经验和群体经验的学习；r₁，r₂为[0,1]内的随机数；为第i个粒子第(k-1)次迭代的个体最优位置；gk^-1为第(k-1)次迭代的群体最优位置。

在普通粒子群算法中，惯性权重ω随迭代次数增加线性减少，而本算法采用非线性随机递增的惯性权重ω，并在其中引入混沌映射^[24]。混沌Sine映射作为一种经典的混沌映射，具有良好的遍历性，在满足快速收敛的同时也保证了后期不错的全局搜索能力，减少在搜索中陷入局部最优解的可能。改进后的惯性权重ω表达式如下：

(14)

其中，ω_max和ω_min分别为惯性权重的上界和下界；k和k_max分别为当前迭代次数和最大迭代次数；r₃，r₄为[0,1]内的随机数。

对于学习因子c₁和c₂，当c₁较大、c₂较小时，算法具有较强的全局搜索能力，反之则具有较强的局部搜索能力。为了加强算法前期的局部搜索能力和后期的全局搜索能力，降低陷入局部最优解的概率，引入正余弦函数构造非线性异步学习因子^[25]：

(15)

(16)

按上述方法进行多次迭代之后通过式(6)得到最终电容C。

直流支撑电容器状态辨识流程如图5所示。

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直流支撑电容器状态辨识流程

3.1　有效性分析

通过Matlab/Simulink平台构造图3所示直流预充电模型仿真电路，在此仿真电路的基础上进行实验，采样出u₁和u₂的数据，并导入到Matlab工作区进行计算。为了模拟现实场景中的噪声对于电压测量的影响，在电压源、电压传感器中均添加了方差σ²=0.5的有限带宽的白噪音模型。

分别采用表1给出的参数进行2组仿真实验。为了在模拟实际情况的基础上分析电压采样频率对辨识有效性的影响，选取电压u₁、u₂的采样频率分别为10、20、50和100 Hz。粒子个数为100，迭代步数为100步，粒子搜索范围为(0,20)。每组分别重复实验4次，得到的结果如表2和表3所示。

由表2和表3可知，对于A组参数，电压采样频率在100 Hz和50 Hz时，辨识结果的误差可以在100步以内稳定于1%以内。当采样频率减小到20 Hz和10 Hz时，误差略有上升，但仍稳定在2%以内。该结果说明电压采样频率对辨识准确性有一定影响，但采样频率相差不大时，其影响可忽略。B组参数辨识结果与A组相似，在不同的电压采样频率下，辨识误差的最大值为2.65%，较为精确。因此，该算法适用于较低电压采样频率的电容量测量。

3.2　收敛性分析

绘制以上实验迭代过程中损失函数值随迭代次数变化的图像，如图6所示。相同条件下的重复实验绘制在同一图像中，图例中的实验1至实验4分别对应表2和表3中序号1至4的实验。

图6全屏查看

损失函数迭代过程

由图6可知，粒子群算法计算过程中，损失函数值随迭代次数先迅速下降，后基本保持不变，表示该算法找到使损失值最小的目标解。由于噪声的影响，迭代完成时损失值不能减少到0，而是稳定在一个非零值附近。由此可知，在电容器状态辨识场景下粒子群算法具有较快的收敛速度。

3.3　抗噪性分析

为了验证算法的抗噪能力，在Simulink仿真平台中加入方差σ²=2、σ²=3的高斯噪声，分别进行仿真实验。针对每个采样频率和噪声方差，分别选取连续5次实验的相对误差记录在表4中。

根据表4可知，整体来看电容辨识误差随噪声方差增大而增大。当电压采样频率为100 Hz和50 Hz时，辨识误差为1%左右；当电压采样频率减小到20 Hz时，误差少于3%；当电压采样频率为10 Hz时，辨识略微增加，但仍误差少于5%。说明该算法在频率较低的情况下仍然有较好的抗干扰能力。

3.4　实车验证

为了验证本文提出算法的有效性，进行了实车验证。测试平台如图7所示，在变流器预充电过程中，监测u₁和u₂的电压变化并采样，采样间隔为100 ms。根据预充电测量数据对方法进行验证，主要参数如表5所示。

图7全屏查看

实车测试

对于3组数据，分别重复进行2次实验，在表6中记录其辨识结果。

绘制以上辨识过程的损失函数值随迭代次数变化的图像，如图8所示，实验1和实验2分别对应表6中序号1和序号2。

图8全屏查看

实车验证迭代过程

3组数据的验证均显示，结果在进行100步迭代后，电容值稳定在4.258 mF左右，且误差少于1.8%，实车验证与仿真结果一致。说明该方法具有较好的准确性和收敛性，在实际应用中可以抵抗噪声的干扰，有良好的鲁棒性。因此，认为本文提出的方法适合在较低频率下应用于实车直流支撑电容器状态辨识。

3.5　与现有方法的对比

将本文所提方法与现有电容器状态辨识方法进行对比，见表7。基于注入电流的电容器辨识方法^[5]精度较低，并且可能因向电路中注入电流引起潜在故障，不易应用于实践。基于纹波的辨识方法^[8]需要对电压纹波进行高精度与高频率监测，而在地铁场景中，传感器的噪声波动近似于纹波电压幅值，因此该方法同样难以应用。基于物理神经网络的辨识方法^[23]辨识精度较高，但具有收敛速度慢、需要特定的训练集的缺点，对计算机运算能力要求较高。与上述方法对比，文献[11]的方法和本文所提方法不改变系统原有结构，避免了噪声对纹波检测的影响，同时原理更为简单，有效解决了上述问题。同时，本文所提方法在文献[11]方法的基础上具有更高的辨识精度、更快的收敛速度和更低的信号采样频率，因此更适用于铁路领域的直流支撑电容器状态辨识。