国家铁路局在2015年的《城际铁路设计规范》中指出，城际铁路是指专门服务于相邻城市间或城市群，旅客列车设计速度在200 km/h及以下的快速、便捷、高密度客运专线铁路[1]。当前我国较多都市圈的城际铁路已经成网化运营，实现城际铁路线路间互联互通是体现网络一体化运营优势和提高公交化运营水平的有效方式。轨道交通线路间实现互联互通需要满足特定条件，GRIFFIN[2]根据卡尔斯鲁厄的互联互通实例，探讨了其在英国发展的可能性、必要性和技术问题。VASIC等[3]以贝尔格莱德为例，从列车制式、动力性能、供电方式等角度对有轨电车和轻轨线路间互联互通运营的兼容性进行了研究。李鑫鹏等[4]针对多运营商模式下的跨线列车运营计划编制问题提供了决策方法。黄荣等[5]基于城市轨道交通网络实现共线运营的3种模式，设计了划分各经营核算实体的收益算法，为涉及多方运营的互联互通网络票款清分问题提供了参考。与不同制式铁路间跨线互通相比，城际铁路线路间跨线互通具有制式相同、线路标准相近等优点，具有较好的可实施性。列车开行方案是轨道交通的基本运营方案，如何对线路间互联换乘和跨线互通2种模式进行综合比选，实现涉及跨线和本线2类列车的开行决策，是国内外学者持续关注、研究的问题。VIGRASS[6]通过实例分析，总结了科学组织跨线列车运营的途径。KUROSAKI[7]探讨了欧洲与日本都市圈轨道交通系统中跨线列车组织运营模式所存在的差异与共性。周熙霖[8]从客流运输组织的角度对城际铁路互联互通模式进行了有关研究。MAKOTO[9]在分析东京市共线运营线路客流分布数据的基础上，从列车开行效益和客流旅行时间角度对现有互联互通跨线、共线运营模式进行了评价。徐正夫等[10]首次提出了动车组动态重联解编跨线列车运用模式，为解决城际铁路运输能力不协调的问题提供了新途径。陈磊等[11]结合实际算例，对城市轨道交通线网实施跨线运营时的乘客出行选择行为进行了分析。梁青槐等[12]考虑到行车密度对跨线运营效果的影响，结合具体算例对不同偏好系数下承运各类客流的列车最优行车密度进行了求解。王贝贝等[13]结合城轨客流特点，从运营层面阐述了跨线列车运行调整的功能及方法。倪少权等[14]设计了多制式下基于乘客路径选择的轨道交通客流分配方法。牛丰等[15]从长途跨线客流输送方案的角度探讨了开行方案的优化问题。李明高等[16]、黄俊生等[17]分别研究了城轨与市郊铁路、城轨线路间的列车开行方案优化问题。ITO[18]总结了东京轨道交通线路实施互联互通以来所产生的问题及影响，并针对由此产生的列车延误问题提供了解决方案。BOYCE[19]对不同跨线客流条件下Y型城轨线路的开行方案进行了分类，并探讨了其优缺点及适用条件。曾庆文等[20]构建了考虑多编组的城轨列车跨线运营开行方案双层规划模型，有效解决了跨线与非跨线列车间满载率差异过大的问题。当前，针对城际铁路互联互通列车开行方案的研究多采用结合特定线路场景的定性分析、方案进行比较论证。通常对本、跨线列车客流选择进行一定的简化处理，如按一定比例系数剖分本、跨线客流。尽管列车开行方案的研究成果极其丰富，但针对城际铁路互联互通场景优化模型和优化方法所进行的研究仍较为缺乏。针对上述研究成果中存在的问题，本文进行建模优化并设计了精确算法，结合实际线路与运营数据进行求解并进行了灵敏度分析，对跨线列车开行的适用条件以及停站标准也进行了相应的探讨。从当前轨道交通发展来看，多制式或多线路间进行互联互通或预留互联互通的技术条件，是轨道交通成网化运营的发展趋势之一。列车开行方案是铁路运输组织过程的基本指导文件，也是影响铁路运输组织工作效率的关键因素。基于此背景，本文构建了线路间互联互通条件下城际铁路列车开行方案优化模型，以企业与旅客双方的综合成本最小化为目标，以客流选择行为为基础，优化确定本、跨线列车开行频率，跨线列车交路起讫点、停站序列。
1 问题分析
城际铁路线路相互联通是实现跨线运营的基础，2条线路间的联通关系通常有如下3种基本形式：线路间首末衔接、Y型衔接和交叉衔接。在这3种形式中，首末衔接可视为以换乘站为分界点的线路间分段运营，交叉衔接方式可视为多个Y型衔接的组合情形。因此，本文将以Y型衔接作为典型情形，对互联互通开行方式有关问题展开研究。
2条城际铁路
为简化问题和建模需要，进行如下假设：
1) 不考虑线路间多次共站的复杂情形，假定2条城际铁路线路具有唯一接轨换乘站。
2) 2条线路具备跨线运营的各项工程技术条件，本、跨线列车均采取双向对称开行的策略。本线列车站站停，跨线列车根据客流情况设置停站，形成择站停的大站快车模式。
3) 各线路本线列车均只以贯穿线路的长交路模式开行；跨线列车跨越换乘站，在2条线路上具备折返条件的站点集合内选择始发终到站。
4) 线路采取公交化运营模式，乘客到站服从均匀分布，候车时间为列车发车间隔的一半。
2 基于互联互通的城际铁路开行方案优化模型
2.1 目标函数
城际铁路列车开行，需要考虑企业的运行成本和乘客出行成本，以两者作为系统总成本构建目标函数。
企业的运行成本与列车运行公里数和列车开行频率有关，可以表示为
其中，
由于城际铁路票价一般按固定票价率和客流OD乘车距离计算，与互联互通客流输送方案无关。故对于每一乘客的出行成本可归结为出行路径上的时间耗费，主要由候车时间
其中，
将客流OD根据客流的起、终点所在区段位置，按照乘车路径种类分别讨论其路径费用和客流选择情况，具体如下。
1) 出行起点所在区段仅存在本线列车
对于出行起点位于
2) 出行起点所在区段存在本线列车与跨线列车
对于出行起点位于
① 第5、8类客流
由于乘坐本线列车与跨线列车均不需要换乘，故只需按照对应列车开行的频率占比进行分配。
② 第7、12类客流
这2类客流在其可以选择的出行方式下，乘坐本线列车与跨线列车均需要换乘且换乘时间近似相等，不同选择所产生的乘客出行费用无较大差异，因此为简化计算，仍然可以按照对应列车开行的频率占比对客流进行分配。
将上述客流分配情况整合如表1所示。
| 客流类型 | 列车类型 | 客流量 |
|---|---|---|
1、2、3、4、 10、11、13、14、15 | 本线 |  |
| 5、7、12 | 本线 |   |
| 跨线 |  | |
| 8 | 本线 |   |
| 跨线 |  |
③ 第6、9类客流
第6类客流存在本线换乘和跨线直达2种方案，第9类客流存在跨线换乘和本线直达2种方案，关于其客流分配的讨论类似，这里以第6类客流为例进行说明。
同上述分配方法类似，若客流出行起点位于非跨线列车停靠站，仍令其按照本线列车的方案出行，反之则按照下述原则进行划分。
令第6类客流本线列车与跨线列车的开行频率比为
全部列车在客流起始站的平均到站间隔
客流采取换乘输送方案时，换乘费用满足
对于
对于任一时间点到达车站的乘客，存在本线列车换乘和跨线列车直达2种出行方式。是否选择乘坐本线列车，需依乘客到站的时刻对最近本线列车候车时间、换乘站走行时间以及二次候车时间之和与最近跨线列车的候车时间进行比较。由于乘客到站服从均匀分布，一个列车开行组合周期内选择乘坐本、跨线列车的客流量需依据乘客候车、换乘时间最小化原则，结合
| 列车开行条件 | 客流选择关系 |
|---|---|
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
| 列车开行条件 | 客流选择关系 |
|---|---|
 | |
 |  |
对第9类客流也可类似推得。
根据上述客流分配结果，可以计算出各OD所产生的乘客出行成本
引入权重系数
2.2 约束条件
1) 开行方案客流输送能力约束。互联互通线路上开行的列车运能应满足各区间的断面客流需求。根据线路区段上开行的本、跨线列车组合关系不同，分别构建列车的客流输送能力约束条件如下：
其中，各式左侧为对应线路区段的最大断面客流量，右侧为在该区段开行的列车运能之和。其中，
2) 线路通过能力约束。轨道交通线路上的列车开行频率应满足一定条件，使单位时间开行的列车数之和不超过其对应线路的最大通过能力,分别构建线路
其中，
3) 本线交路发车频率约束。为保证城际铁路线路的服务水平，本线列车作为线路客流选择的基本交路，其发车频率存在下限约束，即
其中，
4) 跨线列车交路折返站点的唯一性约束。开行过多的列车交路会为乘客带来不便，因此在本模型中限制跨线列车具有唯一的起终点，即
5) 决策变量定义域约束
6) 车站备选集约束
由于并非沿线各站都具备能够保证跨线列车进行折返的条件，故需对跨线列车交路起终点
其中，
综上，由目标函数式(6)、约束条件式(7)～(18)构成城际铁路互联互通情形下的列车开行方案优化模型。该单目标线性规划模型通过客流对跨线互通和换乘互联方案的选择，优化确定列车始发终到折返站点、本线和跨线列车的开行频率。
3 基于列车交路和开行频率组合搜索的求解思路
对于本文构建的单目标线性规划模型，可以通过跨线列车跨线互通和本线列车换乘互联的相互替代关系以及对跨线列车起终点的组合搜索来进行求解。
将跨线列车的起点
可得
对每一(
以给定(
4 算例分析
莞惠城际铁路(广惠城际铁路莞惠段)是我国广东省内一条连接东莞市和惠州市的城际铁路。该段铁路呈东西走向，全段长101 km，共设18座车站。穗莞深城际铁路，简称穗深线，同样为珠三角城际快速轨道交通的主干线路之一。该段铁路全段长106 km，呈南北走向，承担了从广州东站至深圳机场站全线共16个车站的客流运输任务。2条线路在东莞西站衔接，具备互联互通技术条件。为实现城市中心区与市郊及周边组团的快速通行，可以考虑开行跨线列车。算例线路沿线各站如图3所示。
考虑到跨线列车停站标准对算例求解结果的影响，在本算例中固定
| 参数 | 取值 | 单位 | 参数 | 取值 | 单位 |
|---|---|---|---|---|---|
 | 5 | min |  | 0.5 | — |
 | 50/50/60 | 元/(列∙km) |  | 10/12 | 对/h |
 | 1/1.5/1.5 | — |  | 4/3 | 对/h |
  | 3/5 | min |    | 720 | 人 |
4.1 结果分析
采用某年度OD客流数据，基于上述模型及算法编制本、跨线列车开行方案，优化迭代过程如图4所示。可以看到，随着迭代次数增加，目标综合成本值也在不断下降，迭代初期快速下降并逐渐趋于平缓。迭代542次后获得最优列车开行方案如下：莞惠城际和穗莞深城际本线列车开行频率分别为6.8对/h和5.1对/h；在陈江站至深圳机场站间开行跨线列车，开行频率为0.8对/h，停站依次为：银瓶站、常平东站、常平南站、大朗镇站、松山湖北站、东莞西站、虎门北站、虎门东站、长安站。优化方案的目标函数值为742 761.19，较未开行跨线列车的初始方案降低了13%。
2条城际铁路线路各区间断面满载率如图6所示，呈现如下特点：本、跨线列车断面满载率总体较高，仅有线路首末区段个别区间满载率低于50%；莞惠城际本线列车大朗镇—东城南区间断面满载率较高，沿线路两端呈下降趋势；穗莞深城际本线列车在新塘南—东莞西、虎门北—深圳机场区间满载率较为均匀，形成高峰断面，在东莞西站存在大量客流乘降，导致满载率存在较大幅度波动，然后再次逐渐增加；陈江—深圳机场间开行的跨线列车基本覆盖了2条线路满载率较高的区段，在大部分区间断面满载率高于70%，与同区段本线列车大致相当，显示跨线列车具有较好的开行效果。
4.2 灵敏度分析
为分析跨线客流的波动对最优列车开行方案的影响，现将跨线客流以一定倍率进行变化，不同跨线客流水平下的跨线列车交路起讫点和列车开行频率如表5所示。可以看到，随着跨线客流OD倍率不断增大，跨线列车交路起点向小金口方向延伸，对沿线客流的吸引力逐渐增强。分别绘制本、跨线列车开行结构及单位运行成本—平均客流成本随跨线客流OD倍率的变化曲线，如图7和图8所示。可以看出，随着跨线客流强度增加，本、跨线列车开行频率呈上升趋势，单位运行成本和客流出行成本则逐渐降低。其中跨线列车开行频率在0.7～0.9的范围内增长较为显著，单位运行成本近似呈线性下降变化，平均客流成本呈分段式下降变化，跨线客流OD倍率变化范围内，2种成本分别降低约8%、10%。
| 跨线客流倍率 |  |  |  |
|---|---|---|---|
| 0.7 | 13 | 29 | 5.9/4.9/0.2 |
| 0.9 | 12 | 29 | 6.4/5.0/0.7 |
| 1 | 6 | 29 | 6.8/5.1/0.8 |
| 1.1 | 3 | 29 | 7.2/5.3/0.9 |
| 1.3 | 1 | 29 | 8.1/5.9/1.1 |
为体现跨线列车停站对搜索结果的影响，在原跨线客流OD倍率下，保持本线列车停站数不变，改变跨线列车的停站客流量标准，得到跨线列车交路及目标函数值如表6所示。
跨线列车 停站客流标准 | 跨线列车停靠车站数比重/% | | |  |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 100 | 12 | 29 | 802 903.44 |
| 200 | 75 | 12 | 29 | 787 419.71 |
| 300 | 50 | 6 | 29 | 742 761.19 |
| 600 | 25 | 1 | 29 | 753 972.29 |
| 1 100 | 0 | 1 | 29 | 778 894.76 |
可以看到，随着跨线列车停站标准的提高，跨线列车交路延长，客流吸引范围增大，最优目标函数值发生变化。在跨线列车停站客流标准为300人/h时，相较站站停的方案，可使目标函数值降低约5%。上述数据证明：在开行跨线列车时选取适当数量的大站进行停靠能够实现更好的运营效益。
5 结论
1) 优化方法能够有效解决城际铁路本、跨线列车综合决策问题。运用该方法获得的开行方案可使列车运行成本和客流成本同步改善，运能利用更加合理。
2) 随着跨线客流流量增加，跨线列车交路逐步延长、开行频率增加。
3) 与采取站站停的策略相比，大站停模式下的跨线列车开行交路更长，具有较强的竞争优势，当其停站比例在50%时综合成本的下降程度最为明显。
本文对城际铁路典型线路衔接方式下的互联互通列车开行方案优化问题进行了研究，实际城际铁路线路间的关系往往更为复杂，如何在更一般线路衔接方式和网络情形下研究复杂跨线交路的列车开行方案优化问题将是本文未来的研究方向。
王晓潮,傅敬恩,邓连波等.基于互联互通的城际铁路线路间列车开行方案优化方法[J].铁道科学与工程学报,2024,21(12):4936-4945.
WANG Xiaochao,FU Jing’en,DENG Lianbo,et al.Optimization method for train operation plan between intercity railway lines based on interconnectivity[J].Journal of Railway Science and Engineering,2024,21(12):4936-4945.