1.1　发展历程

2006年，DING等^[9]采用混凝土单元体相对塑性耗能率计算模型，定义了描述混凝土破坏的损伤比参数，提出了损伤比变量仅考虑Lode角影响的三参数表达式，当时该理论仅用于普通混凝土，构建了初步的损伤比强度理论，此时受压损伤比仅考虑Lode角的影响，使得在三轴高压应力状态下，子午线接近直线而斜率没有极值，与混凝土强度发展规律的认识并不相符。

2021年，丁发兴等^[3]提出了考虑Lode角和静水压力对受压损伤比共同影响的六参数损伤比变量表达式，该表达式除用于普通混凝土之外，还可用于再生混凝土^[3]、轻骨料混凝土^[3]和纤维混凝土^[10]，此时的损伤比强度理论得到进一步发展，六参数损伤比变量表达式考虑了Lode角影响而反映偏平面外凸特性，也考虑了静水应力影响而实现子午线逐渐收敛的特性，但拉压子午线与高静水应力轴并不相交于同一点。

可见，混凝土损伤比强度理论仍存在不足，需要进一步完善。

1.2　基本理论

基于混凝土材料纵向与横向应变都服从弹性和非弹性应变分解假设，丁发兴等采用单元体相对耗能率Ψ(t)表示为

(1)

式中：σi(i=1,2,3)为混凝土单元体名义主应力；fi(i=1,2,3)为混凝土单轴受力时的峰值应力，当σi为压应力时，fi＝f_c，为拉应力时，fi＝f_t；f_c和f_t分别为单轴轴心抗压和轴心抗拉强度；_ine,i(t)为t时刻非弹性主应变率，表示为

(2)

式中：g(t)为破坏过程t中割线模量与弹性模量之比；ġ(t)为g(t)对过程t的导数；v_r为损伤变形系数；vD_,ij为i轴对j轴(i≠j)的损伤比，为

(3)

因强度理论是式(1)在破坏过程中满足的约束条件，根据混凝土单元体相对耗能率求极值的原理，经推导最终得到混凝土损伤比强度理论的通用表达式：

(4)

对于各向同性材料，不同应力方向材料力学性能一样，由于混凝土材料具有明显拉压不对称性，则式中的损伤比v可简化表示为压损伤比vD_,c和拉损伤比vD_,t。由于混凝土是各向同性脆性材料，当某主应力方向为拉应力时，拉损伤比v＜0.2，此时参数取值变化较小，可简化为某一常数；当为压应力时压损伤比vD_,c＞0.5，此时参数取值受静水压力和Lode角影响，但拉压受力情况下多类混凝土都表现为非弹性体积变形膨胀。参考岩石，多类混凝土损伤比表达式统一采用五经验系数表达式^[5]，即

(5)

式中：a₁～a₅为经验系数，，，。a₁为子午线与静水应力轴的交点，即对应三维破坏包络面压端闭合点；a₂取值影响偏平面的外凸性，a₂、a₃和a₄反映Lode角θ引起的斜率变化规律；a₅为单轴受拉损伤比。5个参数取值介绍详细过程见文献[5]。与六参数损伤比变量表达式^[3]相比，五参数损伤比变量表达式对应拉压子午线与静水应力轴拉端与压端都交于同一点，且三轴受压破坏面完全光滑，无奇异点^[5]。

各三向加载条件下，混凝土损伤比强度理论的主应力形式见表1。文中统一规定应力和应变受拉为正，受压为负。

表1全屏查看

各三向荷载下损伤比强度理论的具体表达式

应力状态	主应力形式
三向拉伸
双向拉伸一向压缩
一向拉伸双向压缩
三向压缩

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当混凝土处于围压三轴应力状态时，此时的损伤比强度理论表示为

(6)

当多类混凝土处于围压三轴强度的弹塑性阶段时，压子午线上强度分布规律近似直线，此时围压三轴强度准则表达式^[11]简化形式如下：

(7)

式中：b₁为侧压系数。

当混凝土处于双轴应力状态时，多类混凝土损伤比强度理论双轴形式的通用形式和简化形式见表2。表中c₁～c₄为经验系数，c₁、c₃、c₄的取值与混凝土在单轴受拉损伤比v、单轴受压损伤比v和双轴等压下的损伤比v有关，c₁～c₄参数取值方法为：1) c₁=2v；2) c₂的选取使简化形式与通用形式强度理论的强度预测值接近；3) c₃=2v；4) 。

表2全屏查看

双轴荷载力下损伤比强度理论及其简化

应力状态	T/T	T/C	C/C
通用形式
简化形式

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1.3　损伤比变量参数取值

根据普通混凝土^[12-22]、再生混凝土^[23-28]、纤维混凝土^{[20, 29-37]}和轻骨料混凝土^[38-40]的三轴试验结果，得到各类混凝土的经验系数见表3。表3所示五经验系数推荐值下多类混凝土损伤比强度理论对应的三维强度包络数学曲面如图1所示，可见该理论对应的多类混凝土的三维包络面光滑外凸且压端塑性流动闭合和拉端脆断闭合。多类混凝土损伤比强度理论显示的典型应力状态下混凝土损伤比取值见表4，结合式(4)和式(5)可知，随着静水压力的增加，多类混凝土压损伤比将由单轴受压时的1.0左右线性递减至小于0.5，使得其非弹性体积膨胀减小至不变，因而导致混凝土由单轴受压脆性破坏向多轴受压塑性破坏转变。

图1全屏查看

混凝土三维破坏包络面

表4全屏查看

典型应力状态下多类混凝土的损伤比取值

材料	(单向拉伸)	(单向压缩)	(双向等压)	(三向等压塑性流动)
普通(再生)混凝土	0.15	1.155	0.718	0.499 1
纤维混凝土	0.15	1.196	0.750	0.499 3
轻骨料混凝土	0.10	0.940	0.701	0.480 2

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1.4　理论验证

各经验参数取值下的多类混凝土损伤比强度理论所示压拉子午线预测曲线与普通混凝土^[12-22]、再生混凝土^[24-28]、纤维混凝土^[29-37]和轻骨料混凝土^[38-40]的三轴强度试验数据的比较见图2和图3，图中也给出了笔者较早时候提出的六参数损伤比强度理论^[2]预测的压拉子午线变化规律。可见：1) 本文提出的五参数损伤比强度理论所示的压拉子午线在受压端闭合，而六参数损伤比强度理论所示的压拉子午线在受压端不能保证都闭合，其中普通混凝土和纤维混凝土的六参数损伤比强度理论所示的压拉子午线在受压端无法闭合，而轻骨料混凝土的六参数损伤比强度理论所示的压拉子午线在受压端完全闭合，且与五参数损伤比强度理论所示的压拉子午线基本一致；2) 与普通混凝土相比，纤维混凝土强度包络面相对饱满，由于掺入纤维对混凝土拉伸强度增加更为明显，因此在拉子午线侧强度包络面扩展略大；3) 与普通混凝土相比，轻骨料混凝土强度包络面要小很多，现有试验条件更容易做到数据分布完整，因此在三轴等压时轻骨料混凝土呈现塑性流动使得其压端出现闭合的试验规律。

图2全屏查看

混凝土损伤比强度理论对应拉压子午线预测曲线与测试数据的比较

图3全屏查看

多类混凝土拉压子午线预测曲线之间的比较

五参数和六参数的多类混凝土损伤比强度理论所示围压三轴强度规律以及简化围压三轴强度规律与普通混凝土^{[12, 14, 16-17, 19, 22]}、再生混凝土^[24-28]、纤维混凝土^[29-37]和轻骨料混凝土^[38-40]的围压三轴强度试验数据的比较见图4，对于普通混凝土，与六参数损伤比强度理论相比，五参数损伤比强度理论所示围压三轴强度规律有所降低，2种参数下纤维混凝土和轻骨料混凝土的损伤比强度理论基本不变，而简化的围压三轴强度规律不变^[2]，因此侧压系数也不变，围压三轴损伤比强度理论的侧压系数取值见表5。

图4全屏查看

围压下多类混凝土损伤比强度理论及其线性简化

五参数多类混凝土损伤比强度理论所示双轴强度规律以及简化双轴强度规律与普通混凝土^{[15, 41-42]}、再生混凝土^[23]、纤维混凝土^[43-47]和轻骨料混凝土^[48-50]的双轴强度试验数据的比较见图5。由图可知两者基本一致。简化二轴损伤比强度准则的各经验参数取值和双轴等压与单轴抗压强度比值f_cc/f_c见表6。

图5全屏查看

混凝土损伤比强度理论的二轴破坏曲线

五参数和六参数多类混凝土损伤比强度理论预测结果与多类混凝土强度试验结果的精度比较结果见表7，可见五参数多类混凝土损伤比强度理论预测结果更准确。五参数和六参数多类混凝土损伤比强度理论的“通用形式”及其在围压三轴时强度理论的“简化形式”，它们的预测结果与多类混凝土强度试验结果比较的精度统计见表8。

图6显示了围压下混凝土八面体剪应力与压损伤比随静水应力的变化规律，可见混凝土损伤比强度理论可用来阐述约束混凝土的工作原理，即围压下混凝土压损伤比取值减小，八面体剪应力先增大后减小，轴向峰值应力提升并维持某一定值，压损伤比取值减小引发非弹性体积膨胀减小，导致混凝土脆性向塑性转变，因此该理论为钢管混凝土柱中发挥混凝土耗能潜力提供理论依据。

图6全屏查看

约束混凝土工作原理

2.1　发展历程

ABAQUS软件中提供的混凝土塑性-损伤模型，包括需要确定单轴拉、压本构关系，以及膨胀角、拉压子午线强度比值和二轴等压与单轴抗压强度比值等三轴参数。

2003年以前，学者们研究普通混凝土时将其区分为普通强度、高强度和超高强度混凝土，并对各类混凝土的力学性能指标分区建立不同的表达式，导致混凝土的基本力学性能指标在分区边界处的计算结果误差较大，给混凝土结构分析带来麻烦。2003—2004年，余志武等^[51-52]针对此情况将已有数据进行整合分析，提出各力学性能指标统一计算公式以及两参数单轴受压与受拉应力-应变全曲线方程，此时的全曲线方程上升段存在弹性模量衰减过快的缺陷。2009年，丁发兴等^[53]将两参数的单轴受力应力-应变全曲线方程升级为三参数应力-应变全曲线方程，此时的上升段反映了弹性阶段弹性模量不衰减。完善后的力学性能指标表达式以及应力-应变全曲线方程适用于C120及以下强度等级的混凝土。随后，普通混凝土力学性能指标表达式以及应力-应变全曲线方程进一步扩展应用于再生混凝土^[54]、轻骨料混凝土^[55]和沙漠砂混凝土^[56]。2022年，DING等^[57]补充了更多的混凝土单轴受力试验数据，完善了峰值应变表达式以及上升段参数表达式，使得力学性能指标表达式以及应力-应变全曲线方程适用于C160及以下强度等级的混凝土。

以往针对三轴参数的选取，一般都是经验性的，且一般没有明确给出依据。三轴参数中膨胀角的取值对计算结果影响最大，尤其当混凝土处于三轴受压状态。2009年，丁发兴等^[53]根据圆钢管混凝土短柱轴压试验结果与弹塑性法分析结果，建立圆钢管混凝土短柱轴压三维实体有限元模型，认为普通混凝土塑性损伤本构模型的膨胀角取为40°时可使得有限元计算结果与试验结果以及弹塑性法计算结果一致。由于再生混凝土和沙漠砂混凝土的力学性能与相近强度等级普通混凝土差别并不大，丁发兴等^{[54, 56]}建议膨胀角取为40°。采用同样方法，丁发兴等^[58]建议轻骨料混凝土膨胀角取为30°。2022年，DING等^[57]进一步论述了针对C100以下普通混凝土的膨胀角取为40°，而C100以上普通混凝土的膨胀角取为30°。此时，笔者所在课题组针对膨胀角取值的确定，还是依据构件层面试验结果与其他方法分析结果相结合的经验确定，尚缺乏理论依据。

2.2　三轴强度参数

1) 膨胀角

在ABAQUS的塑性-损伤模型中，描述混凝土损伤塑性模型采用的是非关联流动法则，塑性势函数是表征塑性应变增量与加载曲面之间关系的势函数，模型中采用的塑性势函数G为Drucker-Prager双曲函数形式^[59]：

(8)

式中：，为有效静水压力；，为Mises等效有效应力；是有效主应力；φ为高围压下平面p-q中的膨胀角；ϵ是偏心率。

由于ABAQUS塑性-损伤模型中没有给出膨胀角的取值方法，因此作者采用损伤比强度理论所反映的高围压下p-q平面切线斜率作为膨胀角的取值依据，即当静水压力处于-0.4a₁≤p/f_c≤-0.5a₁时，普通(再生)混凝土φ取值为37°～45°，此时的压损伤比取值为0.83～0.90，纤维混凝土φ取值为38°～45°，此时的压损伤比取值为0.86～0.93，纤维混凝土φ取值为28°～36°，此时的压损伤比取值为0.74～0.79。

参考上述取值范围，结合前述有关多类混凝土在钢管混凝土中应用的膨胀角经验取值规律，损伤比强度理论建议膨胀角φ的取值规律如图7所示。考虑到实际工程中大多数情况下混凝土强度等级低于C100，因此普通混凝土损伤比强度理论所示的压子午线在高围压值p/f_c=6.6(-0.47a₁)时对应φ值为40°，纤维混凝土在高围压值p/f_c=6.3时(-0.42a₁)对应φ值为45°，轻骨料混凝土在高围压值p/f_c=1.4时(-0.48a₁)对应φ值为30°。由表5和图7可知，由轻骨料混凝土、普通混凝土到纤维混凝土，围压下侧压系数不断增大，相应的膨胀角取值也不断增大。

图7全屏查看

多类混凝土膨胀角取值示意图

2) 二轴等压与单轴抗压强度比值f_cc/f_c和拉压子午线强度比值K

多类混凝土二轴等压与单轴抗压强度比值f_cc/f_c也是根据损伤比强度理论确定，见表6。多类混凝土拉压子午线强度比值K取值依据见图8。普通(再生)混凝土对应K值在0.6～1.0之间，取高围压值p/f_c=6.6时对应值0.63；纤维混凝土对应K值在0.6～1.0之间，取高围压值p/f_c=6.3时对应值0.66；轻骨料混凝土对应K值在0.79～1.0之间，取高围压值p/f_c=1.4时对应值0.85。

图8全屏查看

多类混凝土压子午线与拉子午线强度的比值

3) 其他参数取值

其他参数如偏心率ϵ取为0.1，黏性系数取为0.000 5，取值依据与以往文献一致，此外多类混凝土的泊松比一般都取为0.2。

综上所述，混凝土塑性-损伤模型中多轴强度参数取值见表9。此外，当混凝土结构经受环境升温作用时，一般而言，高温下混凝土的损伤比强度理论所反映数学曲面特征与常温混凝土的损伤比强度理论一致，高温下混凝土塑性-损伤模型的三轴强度参数以及流动偏角与黏性系数取值也与常温一致。

2.3　常温下单轴受力应力-应变关系曲线及卸载刚度

根据多类混凝土单轴受力应力-应变试验曲线特点，采用下列无量纲形式的混凝土单轴应力-应变全曲线方程^[53]：

(9)

式中：当n=1时，y=σ/f_c，x=ε/ε_c；当n=2时，y=σ/f_t，x=ε/ε_t。σ为应力；ε为应变；f_c为单轴抗压强度；f_t为单轴抗拉强度；ε_c为单轴抗拉峰值应变；ε_t为单轴抗拉峰值应变；Ai为混凝土弹性模量与峰值割线模量比值；Bi为控制上升段曲线弹性模量衰减程度。该表达式反映了弹性模量在弹性阶段时不衰减，并考虑了约束作用对混凝土下降段的缓和，且峰值应力及对应的应变维持不变，如图9所示。

图9全屏查看

混凝土单轴受力应力-应变曲线示意图

针对多类混凝土，进一步的参数取值表达式见表10，具体来源见文献[51-52, 54-57, 60]。普通混凝土^[57]、再生混凝土^[61]、沙漠砂混凝土^[56]和轻骨料混凝土^[62]单轴应力-应变全曲线如图10～图13所示，各表达式与试验数据的比较见原文献。

表10全屏查看

混凝土单轴受力应力-应变曲线中的参数表达式

受力 方式	压	拉
普通混凝土
再生混凝土
沙漠砂混凝土
轻骨料混凝土

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注：配箍率ρ_sv或含钢率ρ_s≥2%，α₁＝0.15；当ρ_sv或ρ_s=0时，α₁=4×10^-3f_cu^1.5；当0<ρ_sv或ρ_s<2%时，α₁线性内插。表中，η_r为再生骨料取代率，ρ_c为轻骨料混凝土表观密度。

图10全屏查看

不同强度等级混凝土单轴受力应力-应变计算曲线

图11全屏查看

不同再生骨料取代率下各强度等级再生混凝土应力-应变计算曲线

图12全屏查看

不同沙漠砂取代率下各强度等级沙漠砂混凝土单轴受力应力-应变全曲线

图13全屏查看

不同强度等级轻骨料混凝土单轴应力-应变计算曲线

假定弹性模量损伤和能量的损伤存在一定的关系，得到混凝土弹性模量损伤表达式：

(10)

式中：，为应变能。通过对循环荷载下和反复荷载下混凝土单轴拉、压卸载模量试验结果的分析，谷利雄等^[63]建议公式为

(11)

式中：在循环加载时刚度恢复因子取W_c=0.8和W_t=0.2，以模拟混凝土卸载与再加载的转换。拉压循环荷载下立方体抗压强度f_cu为40 MPa的混凝土材料滞回关系计算曲线如图14所示，可见塑性-损伤本构模型基本上反映了滞回荷载下混凝土刚度衰减的特性。

图14全屏查看

反复荷载下混凝土滞回关系计算曲线

针对低轴压比的钢管混凝土桥墩，GOTO等^[64]提出了考虑插入裂缝后的混凝土压缩弹性模量损伤变量D表达式：

(12)

此时在循环加载时刚度恢复因子取Wc=1.0和W_t=0。图14和图15所示为谷利雄等^[63]与GOTO等^[64]提出的压缩损伤变量D变化规律比较，可知谷利雄等^[63]提出的受压弹性模量损伤变量计算结果大于GOTO等^[64]提出的计算结果。

图15全屏查看

混凝土压缩弹性模量损伤变量计算结果比较

2.4　高温下混凝土热-力-时本构关系

当混凝土结构受火灾升温作用时，此时温度、荷载和时间都会引起应变增量，高温下混凝土总应变(ε_c,total)包含瞬态热应变(ε_c,tr)、高温徐变(ε_c,cr)、自由膨胀应变(ε_c,th)和应力作用产生的应变(ε_c,σ)，其表达式为

(13)

式中：瞬态热应变(ε_c,tr)和高温徐变(ε_c,cr)采用过镇海等^[65]建议的计算公式：

(14)

(15)

自由膨胀应变采用过镇海等^[65]提出的混凝土热膨胀系数和温度的关系公式：

(16)

高温下混凝土的应力-应变关系^[66]同式(9)，式中：当n=1时，，。f_cT为高温下混凝土单轴抗压强度；ε_cT为高温下混凝土单轴抗压峰值应变；当n=2时，，。为高温下混凝土单轴抗拉强度；为高温下混凝土单轴抗拉峰值应变。和的具体表达式^[66]为

(17)

式中：和的具体表达式^[66]为

(18)

参数b₁的表达式^[66]为

(19)

式(9)和式(17)～式(19)所表达的不同温度下C40混凝土应力-应变计算曲线如图16所示。在受火初期混凝土一般都处于弹性阶段，因此不考虑混凝土构件截面应力重分布引起的卸载损伤，损伤因子取为0。

图16全屏查看

不同温度下C40混凝土应力-应变计算曲线

2.5　本构模型应用

上述三轴参数确定性和单轴受力应力-应变关系曲线唯一性的多类混凝土三轴塑性-损伤模型，考虑了多轴约束作用对混凝土单轴受压下降段曲线的缓和，以及纵筋或钢管对混凝土单轴受拉下降段曲线的缓和。此外，该模型与实体单元相结合，由于采用实体单元模拟最贴近混凝土真实状态，无需遵循平截面假设，方便考虑材料非线性、几何非线性、接触非线性和温度场非线性等各种复杂非线性因素，因此相应的混凝土与钢-混凝土组合构件及结构体系有限元模型计算过程中收敛性更好，更容易实现结构塑性大变形分析，为此笔者称为约束混凝土三轴塑性-损伤模型。目前该模型主要应用于以下2个方面。

1) 常温下静力与抗震行为

课题组主要将约束混凝土三轴塑性-损伤本构与钢材混合强化-韧性损伤模型相结合用于组合结构非线性有限元分析，其中混凝土采用实体单元，钢管与钢梁采用壳单元。通过对钢管与混凝土表面的接触关系设定为硬接触的方式，体现了钢管与混凝土之间的界面滑移与约束作用的特征，因而实现了普通混凝土、再生混凝土、沙漠砂混凝土和轻骨料混凝土填充于钢管内的各类钢管混凝土轴压静力性能非线性分析^{[60-62, 67]}。此外，在普通混凝土方面，实现钢管混凝土桥墩与柱、钢-混凝土组合梁、各类组合节点及平面与空间框架的拟静力^[68-75]、拟动力^[76]和振动台^[77]性能模拟与分析，实现了多维地震波作用下钢管混凝土柱-组合梁空间框架结构体系的动力时程分析^[78]，并提出了提升抗震韧性的耗能部位拉筋增强约束、梁端负弯矩区增大钢梁截面和强节点构造方法，柱端拉筋增强约束措施显著降低钢管混凝土柱界面滑移的计算结果如图17所示。多维地震波作用下空间结构有限元模型计算所示典型的破坏形态如图18所示。课题组还建立了考虑混凝土裂缝和钢材韧性损伤的高速铁路无砟轨道预应力混凝土连续梁桥有限元模型，分析了地震下桥墩损伤演化规律，研究了不同地震强度和车速下列车的动力响应，结果显示地震作用下端部拉筋钢管混凝土桥墩由于损伤更小而使得列车行驶更加平稳，有利于行车安全^[79]，如图19所示。

图17全屏查看

柱端拉筋增强约束对纵向位移时程曲线的影响

图18全屏查看

多维地震波作用下组合框架算例模型倒塌变形图

图19全屏查看

侧向地震波作用下高速铁路连续梁桥上列车脱轨模拟

2) 火灾升温行为

在火灾升温作用研究方面，采用混凝土和钢材热-力耦合本构模型，结合实体-壳元计算模型，实现了钢管混凝土柱^[80]、钢-混凝土组合梁^[81-86]、钢筋混凝土板^[87]、各类组合节点及平面^[88-89]与空间框架^[90]高温非线性分析与验证，最终完成了局部火灾升温下钢管混凝土柱-组合梁空间框架结构体系抗火性能分析，提出了考虑结构整体性能、适当防火保护与增强约束拉筋构造相结合的综合防火技术^[90]，与现有的防火技术相比，节省防火材料用量，成本更优。局部火灾升温下空间结构有限元模型计算所示典型的破坏形态如图20所示。

图20全屏查看

底层火灾下钢管混凝土-组合梁空间框架典型失效模式

除此之外，该模型有望进一步应用于静力、抗震、抗火之外的其他荷载，或荷载与环境共同作用下上述多类混凝土结构非线性分析。

3.1　结论

1) 提出了比较完善的普通(再生)混凝土、轻骨料混凝土和纤维混凝土等多类混凝土损伤比强度理论，该理论对应的多类混凝土的三维包络面光滑外凸且压端塑性流动闭合和拉端脆断闭合，根据该理论阐述了约束混凝土的工作原理，即围压下混凝土压损伤比取值减小，轴向峰值应力提升，非弹性体积膨胀减小，导致脆性向塑性转变，为钢管混凝土柱中发挥混凝土耗能潜力提供了理论依据。

2) 梳理并提出了比较完善的三轴强度参数确定性和单轴压拉本构关系唯一性的约束混凝土三轴塑性-损伤模型，该模型可适用于普通混凝土、再生混凝土、沙漠砂混凝土和轻骨料混凝土等混凝土构件与混凝土结构的非线性分析，包括静力、抗震与抗火非线性分析。

3.2　展望

开展典型加载路径下的海水海砂混凝土、珊瑚礁混凝土、地聚物混凝土以及其他新型环保混凝土强度多轴试验研究，建立该类混凝土的损伤比强度理论，推荐损伤比变量五参数取值；提出该类新型混凝土材料三轴强度参数，开展单轴受压和受拉应力-应变关系曲线研究，建立该类新型混约束凝土三轴塑性-损伤模型，应用开展相应新型混凝土结构静力、抗震、抗火与其他荷载，或荷载与环境共同作用下新型混凝土结构非线性分析。